Brush the 42-m liter of water into n cups (dynamic programming)

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Title description

要把m升的水倒入n个相同的容器中（假设容器足够大），允许有的容量是空的，
问共有多少种不同的倒法？5，1，1和1，5，1和1，1，5是同一种倒法。

Example

输入：
7 3
输出：
8

Reference analysis

1. 不妨设 f(m,n)为 把m升水倒入n个容器的总的方法数。
2. m>=n 可以分为两种情况，一种是n个容器内都一定有水，一种是n个容器内至少有一个没有水，这两种情况完全独立。
对于第一种，我们先将m中分出n升水，依次倒入每个桶，这样每个桶都一定有水，那么接下来的水的分配就是f（m-n,n）。
对于第二种的想法，就是先丢掉一个桶，这个桶一定没水，然后将m升水分配给余下的n-1个桶里（每个桶也不一定有水）。
所以有dp[ i ][ j ]  = dp[ i ][ j -1 ] + dp[ i - j ][ j ] 。
3. 下面是m<n的情况，也就是水少桶多，那么桶太多必定有部分桶未装水的情况。所以不妨直接扔掉（n-m）个桶，
然后就变成了n升水分配给n个桶的情况,即 dp[i][j] = dp[i][j-1]；
4. 接下来初始化边值条件：dp[ 0 ][ i ] = 1, dp[ j ][ 0 ] = 1.在我的代码中，索引下标和水量，以及桶数都是一一对应的。

Reference Code

public static int solve(int m, int n) {
    
    
    // dp[i][j]表示将i升水导入j个瓶子的方法数
    int dp[][] = new int[m+1][n+1];
    // 边界情况dp[0][i] = 1, dp[j][0] = 1
    for (int i = 0; i < m+1; i++) {
    
    
        Arrays.fill(dp[i], 1);
    }
    for (int i = 2; i < m+1; i++) {
    
    
        for (int j = 2; j < n+1; j++) {
    
    
            // 水比桶多
            if (i >= j)
                // 分两种情况，（1）至少有一个桶没有水；（2）每个水桶都有水；
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];
            // 桶比水多
            else
                dp[i][j] = dp[i][j - 1];
        }
    }
    return dp[m][n];
}