ARC107 D-Number of Multisets (Thinking, dp)

Title:

solution:

考虑两种构造方法:
1.使用至少一个1.
2.不使用1.

对于情况1,先提出一个1,那么问题变为:
n-1个数组成k-1的方案数,可选集合为:1,1/2,1/4...

对于情况2,由于可选集合为:1/2,1/4...
我们将所有数的值乘上2,即数值翻倍,那么问题变为:
n个数组成2k的方案数,可选集合为:1,1/2,1/4...
同时可以发现,这样情况2大概又变成情况1了.

至此,我们找到了d(n,k)的两种分解方法:
1.选一个1,之后方案数为d(n-1,k-1).
2.不选1,方案数为d(n,k*2).

那么转移方程为:
d[n][k]=d[n-1][k-1]+d[n][k*2].

O(n^2)的dp就能计算出来.

边界:
当k>n时,d[n][k]=0.
当n!=0时,d[0][n]=d[n][0]=0.
当n=k时,d[n][k]=1.

code：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxm=3e3+5;
const int mod=998244353;
int d[maxm][maxm];
int n,k;
int dfs(int n,int k){
    
    
    if(n<k)return 0;
    if(n==k)return 1;
    if(!k||!n)return 0;
    if(d[n][k]!=-1)return d[n][k];
    return d[n][k]=(dfs(n-1,k-1)+dfs(n,k*2))%mod;
}
void solve(){
    
    
    cin>>n>>k;
    memset(d,-1,sizeof d);
    d[0][0]=1;
    int ans=dfs(n,k);
    cout<<ans<<endl;
}
signed main(){
    
    
    solve();
    return 0;
}

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