Interpolation - Lagrange interpolation polynomial

Using basis functions, it is assumed interpolation polynomial form: $${\mathit{L}}_{\mathit{n}}\left(\mathit{x}\right)=\underset{\mathit{i}=0}{\overset{\mathit{n}}{\sum }}\mathit{a}{}_{\mathit{i}}\mathit{l}{}_{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; i\; </font></font>}}\left(\mathit{x}\right)$$
Remember $$\mathit{w}{}_{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; n\; </font></font>}+1}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; )\; </font></font><font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </font></font>\underset{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; i\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </font></font>\mathrm{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 0\; </font></font>}}{\overset{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; n\; </font></font>}}{\prod }}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}-\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}{}_{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; i\; </font></font>}}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; )\; </font></font>$$
We have to complete the form of Lagrange interpolation: $${\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; L\; </font></font>}}_{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; n\; </font></font>}}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; )\; </font></font><font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </font></font>\underset{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; i\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </font></font>\mathrm{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 0\; </font></font>}}{\overset{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; n\; </font></font>}}{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; \sum \; </font></font>}}\mathit{f}{}_{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; i\; </font></font>}}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; )\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; l\; </font></font>}{}_{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; i\; </font></font>}}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; )\; </font></font>$$among them $$\mathit{l}{}_{\mathit{i}}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; )\; </font></font><font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; =\; </font></font>\frac{\mathit{w}{}_{\mathit{n}+1}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; )\; </font></font>}{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; -\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}{}_{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; i\; </font></font>}}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; )\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; w\; </font></font>}{}^{,}{}_{\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; n\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; +\; </font></font>\mathrm{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; 1\; </font></font>}}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; (\; </font></font>\mathit{<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; x\; </font></font>}<font\; style="vertical-align:\; inherit;"><font\; style="vertical-align:\; inherit;">\; )\; </font></font>}$$