1.1, lineares Programmierproblem
In der Produktionspraxis der Menschen stoßen sie häufig auf das Problem, wie vorhandene Ressourcen zur Organisation der Produktion verwendet werden können, um einen maximalen wirtschaftlichen Nutzen zu erzielen. Solche Probleme bilden einen wichtigen Zweig der Operationsforschung - mathematische Programmierung, und die lineare Programmierung (lineare Programmierung, abgekürzt als LP) ist ein wichtiger Zweig der mathematischen Programmierung. Seit GBDantzig 1947 die Simplex-Methode zur Lösung der linearen Programmierung vorschlug, ist die lineare Programmierung theoretisch ausgereifter und in der Praxis umfangreicher und tiefer geworden. Insbesondere nachdem der Computer mit linearer Programmierung mit Tausenden von Einschränkungen und Entscheidungsvariablen umgehen kann, ist die Anwendung der linearen Programmierung umfangreicher geworden und zu einer der grundlegenden Methoden geworden, die im modernen Management häufig verwendet werden.
1.1.1 Beispiele und Definitionen der linearen Programmierung
Beispiel 1.1 Eine Werkzeugmaschinenfabrik produziert zwei Arten von Werkzeugmaschinen, A und B, und der Gewinn nach dem Verkauf jeder Maschine beträgt 4.000 Yuan bzw. 3.000 Yuan. Die Produktion der Werkzeugmaschine A muss von den Maschinen A und B verarbeitet werden, und die Bearbeitungszeit beträgt 2 Stunden bzw. 1 Stunde für jede Maschine. Die Produktion der Werkzeugmaschine B muss von den Maschinen A, B und C verarbeitet werden. und die Verarbeitungszeit beträgt eine Stunde für jede Maschine. Wenn die
Anzahl der für die Verarbeitung pro Tag verfügbaren Maschinenstunden 10 Stunden für Maschine A, 8 Stunden für Maschine B und 7 Stunden für Maschine C beträgt, wie viele Werkzeugmaschinen sollte das Werk produzieren, um den Gesamtgewinn zu maximieren?
Das mathematische Modell des obigen Problems: Angenommen, der Gesamtgewinn z ist der größte, wenn die Fabrik x1 Maschine A und x2 Maschine B produziert, dann sollten x1 und x2 erfüllt sein:
Die Variablen x1, x2 werden als Entscheidungsvariablen bezeichnet, die Formel (1.1) wird als Zielfunktion des Problems bezeichnet, und mehrere Ungleichungen in (1.2) sind die Einschränkungen des Problems, die als st (vorbehaltlich) bezeichnet werden.
Die Zielfunktion und die Einschränkungen sind lineare Funktionen, daher wird es als lineares Programmierproblem bezeichnet. Das lineare Programmierproblem ist ein Problem des Findens der maximalen oder minimalen linearen Zielfunktion unter der Einschränkung eines Satzes linearer Einschränkungen. Bei der Lösung praktischer Probleme wird das Problem auf ein lineares Programmiermodell reduziert. Ein mathematisches Modell ist ein sehr wichtiger Schritt, und es ist oft ein sehr schwieriger Schritt. Ob das Modell richtig erstellt wurde oder nicht, wirkt sich direkt auf die Lösung aus. Die Auswahl geeigneter Entscheidungsvariablen ist einer der Schlüssel für uns, um ein effektives Modell zu etablieren.
1.1.2 Das Konzept von Lösungen für lineare Programmierprobleme
Wo c und x n-dimensionale Spaltenvektoren sind, sind A und Aeq Matrizen geeigneter Dimensionen und b und beq sind Spaltenvektoren geeigneter Dimensionen. [ Hinweis: Matlab ist für min ]
Die realisierbare Lösung, die die Bedingung (1.4) erfüllt, ist die Lösung x = [x, L, x, I, die als realisierbare Lösung des linearen Programmierproblems bezeichnet wird, und die realisierbare Lösung, die die Zielfunktion (1.3) maximiert die optimale Lösung.
Machbarer Bereich Machbarer Regionssatz wird als machbare Lösung für alle Probleme bezeichnet, die aus R bestehen.
1.1.3 Matlab-Standardform der linearen Programmierung und Softwarelösung
Wo c und x n-dimensionale Spaltenvektoren sind, sind A und Aeq Matrizen geeigneter Dimensionen und b und beq sind Spaltenvektoren geeigneter Dimensionen.
Der Befehl zum Lösen der linearen Programmierung in Matlab lautet
[x,fval] = linprog(c,A,b)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)[ Hinweis: Dies sind drei verschiedene Schreibweisen. Für das Standardformular können Sie schreiben, welchen Parameter Sie haben. ]
Wo x den Wert des Entscheidungsvektors zurückgibt, gibt fval den optimalen Wert der Zielfunktion zurück, c ist der Wertvektor, A, b entsprechen linearen Ungleichheitsbeschränkungen, Aeq, beq entsprechen linearen Gleichheitsbeschränkungen, lb bzw. ub entsprechen der untere gebundene Vektor und der obere gebundene Vektor des Entscheidungsvektors.
Beispiel 1.2 Lösen Sie das folgende lineare Programmierproblem
Das MATLAB-Programm zum Lösen lautet wie folgt.
f=[-2;-3;5];
a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; .
aeq=[1,1,1];
beq=7;
[x,yl=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
x, y=-y1.1.4 Probleme, die in lineare Programmierung umgewandelt werden können
1.2 Nutzen und Risiken einer Anlage
1.2.1 Fragen
1.2.2 Symbolanforderungen und Grundannahmen
Das Symbol gibt an, dass
si das i-te Investitionsprojekt darstellt, wie Aktien, Anleihen usw., i = 0, 1, L, n, wobei s0 sich auf die Einlage bei der Bank bezieht,
ri, Pi und qi jeweils das Durchschnittsrendite von si, Transaktionsgebührensatz, Risikoverlustrate, i = 0, L, n, wobei p0 = 0, q0 = 0;
ui die Handelsquote von si darstellt, i = 1, L, n;
xi die Mittel des Investitionsprojekts si, i = 0, 1, L, n;
a steht für den Grad des Investitionsrisikos;
Q steht für die Gesamtrendite;
Grundannahmen
(1) Der Investitionsbetrag M ist ziemlich groß. Zur Vereinfachung der Berechnung wird M = 1 angenommen.
(2) Je diversifizierter die Investition ist, desto geringer ist das Gesamtrisiko.
(3) Das Gesamtrisiko ist das Investitionsprojekt ; das größte zu messende Risiko;
(4) n + 1 Arten von Vermögenswerten s; sind unabhängig voneinander;
(5) in dieser Investitionsperiode ist r ;, P ;, q; ein fester Wert, der nicht durch unerwartete Ereignisse beeinflusst wird Faktoren:
(6) Das Nettoeinkommen und das Gesamtrisiko werden nur von r ;, P ;, 9; und nicht von anderen Faktoren beeinflusst.
1.2.3 Analyse und Erstellung des Modells
Modell 1: Legen Sie das Risikoniveau fest und optimieren Sie die Rendite
Das heißt, das Risiko überschreitet a nicht
Modell 2: Legen Sie das Gewinnniveau fest und minimieren Sie das Risiko
Das heißt, der Mindestnutzen beträgt k
c) Wenn Anleger Vermögensrisiken und erwartete Renditen abwägen, hoffen sie, ein Portfolio zu wählen, das sie zufriedenstellt. Daher werden die Gewichte s (0 <s ≤ 1) und (1-s) dem Risiko und der Rendite zugeordnet, und s wird als Anlagepräferenzkoeffizient bezeichnet.
1.2.4 Lösung von Modell Eins
clc,clear
a=0;hold on
while a<0.05
c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
A=[zeros(4,1 ),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
b=a*ones(4,1);
Aeq=[1,1.01,1.02,1 .045,1.065];
beq=1; LB=zeros(5,1);，
[x,Ql=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
Q=-Q; plot(a,Q,'*k'); .
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')1.2.5 Ergebnisanalyse
Es ist ersichtlich, dass
(1) das Risiko groß und die Rendite ebenfalls groß ist.
(2) Wenn die Anlage stärker diversifiziert ist, ist das von den Anlegern eingegangene Risiko geringer. Riskante Anleger werden konzentriert investieren, während konservative Anleger ihre Anlagen so weit wie möglich diversifizieren.
(3) Es gibt einen Wendepunkt in der Nähe von a = 0,006. Links von diesem Punkt, wenn der Risikoanstieg gering ist, steigen die Gewinne schnell an. Auf der rechten Seite dieses Punktes steigt der Gewinn sehr stark an, wenn das Risiko stark ansteigt. Daher sollte für Anleger, die Risiko und Rendite nicht besonders bevorzugen, der Wendepunkt der Kurve als optimales Portfolio ausgewählt werden ca. a = 0,6%. Q = 20%, der entsprechende Investitionsplan ist Risikograd a = 0,006, Rendite Q = 0,2019, x, = 0, x = 0,24, x, = 0,4, X3 = 0,1091, x4 = 0,2212.
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