| A * Eine vorläufige Studie zur Wegfindung
Original: Patrick Lester
Übersetzung: Panik
18. März 2005 Originalquelle: A * Wegfindung für Anfänger
Das Vorwort des Übersetzers kennt
den A * -Algorithmus schon vor langer Zeit, aber er hat verwandte Artikel nie ernsthaft gelesen, noch hat er den Code gelesen, sondern hat ein vages Konzept im Kopf. Dieses Mal habe ich mich entschlossen, von vorne zu beginnen und diese einfache Methode zu studieren, die als Beginn des Lernens künstlicher Intelligenz hoch angesehen ist.
Dieser Artikel ist sehr bekannt. Es sollte viele Menschen in China geben, die ihn übersetzt haben. Ich habe ihn nicht nachgeschlagen. Ich denke, die Übersetzung selbst ist eine Übung in meinem Englischniveau. Nach harter Arbeit habe ich das Dokument endlich fertiggestellt und verstehe auch das Prinzip des A * -Algorithmus. Es besteht kein Zweifel, dass der Autor lebendige Beschreibungen und eine prägnante und humorvolle Sprache verwendet, um diesen magischen Algorithmus von flacher bis tiefer zu erklären. Ich glaube, jeder, der ihn gelesen hat, wird dies wissen (wenn nicht, ist sogar die Übersetzung zu schlecht了 - b).
Das Folgende ist der übersetzte Text. (Da ich zum Bearbeiten ultraedit verwende, habe ich mich nicht mit allen Arten von Links im Originaltext befasst (außer mit Diagrammen). Um den Verdacht nicht autorisierter Links zu vermeiden, können interessierte Leser auf den Originaltext verweisen.
Für die Teilnehmer ist es nicht schwierig, der A * -Algorithmus (ausgesprochen A-Stern) ist für Anfänger in der Tat etwas schwierig.
In diesem Artikel wird nicht versucht, eine maßgebliche Erklärung zu diesem Thema abzugeben. Stattdessen wird lediglich das Prinzip des Algorithmus beschrieben, damit Sie andere verwandte Materialien in der weiteren Lektüre verstehen können.
Schließlich enthält dieser Artikel keine Programmdetails. Sie können eine beliebige Computerprogrammiersprache verwenden, um sie zu implementieren. Wie Sie möchten, habe ich am Ende des Artikels einen Link zum Beispielprogramm eingefügt. Das komprimierte Paket enthält zwei Sprachversionen von C ++ und Blitz Basic. Wenn Sie nur den laufenden Effekt sehen möchten, enthält es auch ausführbare Dateien.
Wir verbessern uns. Beginnen wir von vorne ...
Vorwort: Suchbereich
Angenommen, jemand möchte von Punkt A zu Punkt B wechseln, der durch eine Wand getrennt ist. Wie in der folgenden Abbildung gezeigt, ist das Grün der Startpunkt A, das Rot der Endpunkt B. und das blaue Quadrat ist die Wand in der Mitte.
[Bild 1]
Sie bemerken zunächst, dass der Suchbereich von uns in quadratische Gitter unterteilt ist. Auf diese Weise ist die Vereinfachung des Suchbereichs der erste Schritt bei der Pfadfindung. Diese Methode vereinfacht den Suchbereich in ein zweidimensionales Array. Jedes Element des Arrays ist ein Quadrat des Gitters, und die Quadrate werden als passabel und nicht passierbar markiert. Der Pfad wird als die Menge der Quadrate beschrieben, die wir von A nach B passieren. Sobald der Weg gefunden ist, gehen unsere Leute von der Mitte eines Platzes zum anderen, bis sie das Ziel erreichen.
Diese Mittelpunkte werden als "Knoten" bezeichnet. Wenn Sie andere Pfadfindungsmaterialien lesen, werden Sie häufig Leute sehen, die über Knoten diskutieren. Warum sie nicht als Quadrate beschreiben? Weil es möglich ist, dass Ihr Pfad in andere Strukturen unterteilt ist, die keine Quadrate sind. Sie können rechteckig, sechseckig oder eine andere Form haben. Knoten können an einer beliebigen Stelle in der Form platziert werden - sie können sich in der Mitte, entlang der Grenze oder an einer anderen Stelle befinden. Wir benutzen dieses System sowieso, weil es das einfachste ist.
Starten Sie die Suche
Genau wie beim Raster in der obigen Abbildung besteht der nächste Schritt darin, eine Suche zu führen, um den kürzesten Pfad zu finden, sobald der Suchbereich in einfach zu handhabende Knoten konvertiert wurde. Im A * -Pfadfindungsalgorithmus beginnen wir bei Punkt A, überprüfen die benachbarten Quadrate und dehnen uns nach außen aus, bis wir das Ziel finden.
Wir starten die Suche wie folgt:
- 从点A开始，并且把它作为待处理点存入一个“开启列表”。开启列表就像一张购物清单。尽管现在列表里只有一个元素，但以后就会多起来。你的路径可能会通过它包含的方格，也可能不会。基本上，这是一个待检查方格的列表。
- 寻找起点周围所有可到达或者可通过的方格，跳过有墙，水，或其他无法通过地形的方格。也把他们加入开启列表。为所有这些方格保存点A作为“父方格”。当我们想描述路径的时候，父方格的资料是十分重要的。后面会解释它的具体用途。
- 从开启列表中删除点A，把它加入到一个“关闭列表”，列表中保存所有不需要再次检查的方格。
在这一点，你应该形成如图的结构。在图中，暗绿色方格是你起始方格的中心。它被用浅蓝色描边，以表示它被加入到关闭列表中了。所有的相邻格现在都在开启列表中，它们被用浅绿色描边。每个方格都有一个灰色指针反指他们的父方格，也就是开始的方格。
[图2]
接着，我们选择开启列表中的临近方格，大致重复前面的过程，如下。但是，哪个方格是我们要选择的呢？是那个F值最低的。
路径评分
选择路径中经过哪个方格的关键是下面这个等式： F = G + H 这里：
- G = 从起点A，沿着产生的路径，移动到网格上指定方格的移动耗费。
- H = 从网格上那个方格移动到终点B的预估移动耗费。这经常被称为启发式的，可能会让你有点迷惑。这样叫的原因是因为它只是个猜测。我们没办法事先知道路径的长度，因为路上可能存在各种障碍(墙，水，等等)。虽然本文只提供了一种计算H的方法，但是你可以在网上找到很多其他的方法。
我们的路径是通过反复遍历开启列表并且选择具有最低F值的方格来生成的。文章将对这个过程做更详细的描述。首先，我们更深入的看看如何计算这个方程。
正如上面所说，G表示沿路径从起点到当前点的移动耗费。在这个例子里，我们令水平或者垂直移动的耗费为10，对角线方向耗费为14。我们取这些值是因为沿对角线的距离是沿水平或垂直移动耗费的的根号2（别怕），或者约1.414倍。为了简化，我们用10和14近似。比例基本正确，同时我们避免了求根运算和小数。这不是只因为我们怕麻烦或者不喜欢数学。使用这样的整数对计算机来说也更快捷。你不就就会发现，如果你不使用这些简化方法，寻路会变得很慢。
既然我们在计算沿特定路径通往某个方格的G值，求值的方法就是取它父节点的G值，然后依照它相对父节点是对角线方向或者直角方向(非对角线)，分别增加14和10。例子中这个方法的需求会变得更多，因为我们从起点方格以外获取了不止一个方格。
H值可以用不同的方法估算。我们这里使用的方法被称为曼哈顿方法，它计算从当前格到目的格之间水平和垂直的方格的数量总和，忽略对角线方向。然后把结果乘以10。这被成为曼哈顿方法是因为它看起来像计算城市中从一个地方到另外一个地方的街区数，在那里你不能沿对角线方向穿过街区。很重要的一点，我们忽略了一切障碍物。这是对剩余距离的一个估算，而非实际值，这也是这一方法被称为启发式的原因。想知道更多？你可以在这里找到方程和额外的注解。
F的值是G和H的和。第一步搜索的结果可以在下面的图表中看到。F,G和H的评分被写在每个方格里。正如在紧挨起始格右侧的方格所表示的，F被打印在左上角，G在左下角，H则在右下角。
[图3]
现在我们来看看这些方格。写字母的方格里，G = 10。这是因为它只在水平方向偏离起始格一个格距。紧邻起始格的上方，下方和左边的方格的G值都等于10。对角线方向的G值是14。
H值通过求解到红色目标格的曼哈顿距离得到，其中只在水平和垂直方向移动，并且忽略中间的墙。用这种方法，起点右侧紧邻的方格离红色方格有3格距离，H值就是30。这块方格上方的方格有4格距离(记住，只能在水平和垂直方向移动)，H值是40。你大致应该知道如何计算其他方格的H值了～。
每个格子的F值，还是简单的由G和H相加得到
继续搜索
为了继续搜索，我们简单的从开启列表中选择F值最低的方格。然后，对选中的方格做如下处理：
4．把它从开启列表中删除，然后添加到关闭列表中。
5．检查所有相邻格子。跳过那些已经在关闭列表中的或者不可通过的(有墙，水的地形，或者其他 无法通过的地形)，把他们添加进开启列表，如果他们还不在里面的话。把选中的方格作为新的方格的父节点。
6．如果某个相邻格已经在开启列表里了，检查现在的这条路径是否更好。换句话说，检查如果我们用新的路径到达它的话，G值是否会更低一些。如果不是，那就什么都不做。
另一方面，如果新的G值更低，那就把相邻方格的父节点改为目前选中的方格（在上面的图表中，把箭头的方向改为指向这个方格）。最后，重新计算F和G的值。如果这看起来不够清晰，你可以看下面的图示。
好了，让我们看看它是怎么运作的。我们最初的9格方格中，在起点被切换到关闭列表中后，还剩8格留在开启列表中。这里面，F值最低的那个是起始格右侧紧邻的格子，它的F值是40。因此我们选择这一格作为下一个要处理的方格。在紧随的图中，它被用蓝色突出显示。
[图4]
首先，我们把它从开启列表中取出，放入关闭列表(这就是他被蓝色突出显示的原因)。然后我们检查相邻的格子。哦，右侧的格子是墙，所以我们略过。左侧的格子是起始格。它在关闭列表里，所以我们也跳过它。
其他4格已经在开启列表里了，于是我们检查G值来判定，如果通过这一格到达那里，路径是否更好。我们来看选中格子下面的方格。它的G值是14。如果我们从当前格移动到那里，G值就会等于20(到达当前格的G值是10，移动到上面的格子将使得G值增加10)。因为G值20大于14，所以这不是更好的路径。如果你看图，就能理解。与其通过先水平移动一格，再垂直移动一格，还不如直接沿对角线方向移动一格来得简单。
当我们对已经存在于开启列表中的4个临近格重复这一过程的时候，我们发现没有一条路径可以通过使用当前格子得到改善，所以我们不做任何改变。既然我们已经检查过了所有邻近格，那么就可以移动到下一格了。
于是我们检索开启列表，现在里面只有7格了，我们仍然选择其中F值最低的。有趣的是，这次，有两个格子的数值都是54。我们如何选择？这并不麻烦。从速度上考虑，选择最后添加进列表的格子会更快捷。这种导致了寻路过程中，在靠近目标的时候，优先使用新找到的格子的偏好。但这无关紧要。（对相同数值的不同对待，导致不同版本的A*算法找到等长的不同路径。）
那我们就选择起始格右下方的格子，如图。
[图5]
这次，当我们检查相邻格的时候，发现右侧是墙，于是略过。上面一格也被略过。我们也略过了墙下面的格子。为什么呢？因为你不能在不穿越墙角的情况下直接到达那个格子。你的确需要先往下走然后到达那一格，按部就班的走过那个拐角。(注解：穿越拐角的规则是可选的。它取决于你的节点是如何放置的。)
这样一来，就剩下了其他5格。当前格下面的另外两个格子目前不在开启列表中，于是我们添加他们，并且把当前格指定为他们的父节点。其余3格，两个已经在关闭列表中（起始格，和当前格上方的格子，在表格中蓝色高亮显示),于是我们略过它们。最后一格，在当前格的左侧，将被检查通过这条路径，G值是否更低。不必担心，我们已经准备好检查开启列表中的下一格了。
我们重复这个过程，知道目标格被添加进开启列表，就如在下面的图中所看到的。
[图6]
注意，起始格下方格子的父节点已经和前面不同的。之前它的G值是28，并且指向右上方的格子。现在它的G值是20，指向它上方的格子。这在寻路过程中的某处发生，当应用新路径时，G值经过检查变得低了－于是父节点被重新指定，G和F值被重新计算。尽管这一变化在这个例子中并不重要，在很多场合，这种变化会导致寻路结果的巨大变化。
那么，我们怎么确定这条路径呢？很简单，从红色的目标格开始，按箭头的方向朝父节点移动。这最终会引导你回到起始格，这就是你的路径！看起来应该像图中那样。从起始格A移动到目标格B只是简单的从每个格子（节点）的中点沿路径移动到下一个，直到你到达目标点。就这么简单。
[图7]
A*方法总结
好，现在你已经看完了整个说明，让我们把每一步的操作写在一起：
- 把起始格添加到开启列表。
- 重复如下的工作：
a) 寻找开启列表中F值最低的格子。我们称它为当前格。
b) 把它切换到关闭列表。
c) 对相邻的8格中的每一个？
- 如果它不可通过或者已经在关闭列表中，略过它。反之如下。
- 如果它不在开启列表中，把它添加进去。把当前格作为这一格的父节点。记录这一格的F,G,和H值。
- 如果它已经在开启列表中，用G值为参考检查新的路径是否更好。更低的G值意味着更好的路径。如果是这样，就把这一格的父节点改成当前格，并且重新计算这一格的G和F值。如果你保持你的开启列表按F值排序，改变之后你可能需要重新对开启列表排序。
d) 停止，当你
- 把目标格添加进了开启列表，这时候路径被找到，或者
- 没有找到目标格，开启列表已经空了。这时候，路径不存在。
- 保存路径。从目标格开始，沿着每一格的父节点移动直到回到起始格。这就是你的路径。
题外话
离题一下，见谅，值得一提的是，当你在网上或者相关论坛看到关于A*的不同的探讨，你有时会看到一些被当作A*算法的代码而实际上他们不是。要使用A*，你必须包含上面讨论的所有元素－－特定的开启和关闭列表，用F,G和H作路径评价。有很多其他的寻路算法，但他们并不是A*，A*被认为是他们当中最好的。Bryan Stout在这篇文章后面的参考文档中论述了一部分，包括他们的一些优点和缺点。有时候特定的场合其他算法会更好，但你必须很明确你在作什么。好了，够多的了。回到文章。
实现的注解
现在你已经明白了基本原理，写你的程序的时候还得考虑一些额外的东西。下面这些材料中的一些引用了我用C++和Blitz Basic写的程序，但对其他语言写的代码同样有效。
- 维护开启列表：这是A*寻路算法最重要的组成部分。每次你访问开启列表，你都需要寻找F值最低的方格。有几种不同的方法实现这一点。你可以把路径元素随意保存，当需要寻找F值最低的元素的时候，遍历开启列表。这很简单，但是太慢了，尤其是对长路径来说。这可以通过维护一格排好序的列表来改善，每次寻找F值最低的方格只需要选取列表的首元素。当我自己实现的时候，这种方法是我的首选。
在小地图。这种方法工作的很好，但它并不是最快的解决方案。更苛求速度的A*程序员使用叫做“binary heap”的方法，这也是我在代码中使用的方法。凭我的经验，这种方法在大多数场合会快2～3倍，并且在长路经上速度呈几何级数提升(10倍以上速度)。如果你想了解更多关于binary heap的内容，查阅我的文章：Using Binary Heaps in A* Pathfinding。
- 其他单位：如果你恰好看了我的例子代码，你会发现它完全忽略了其他单位。我的寻路者事实上可以相互穿越。取决于具体的游戏，这也许可以，也许不行。如果你打算考虑其他单位，希望他们能互相绕过，我建议在寻路算法中忽略其他单位，写一些新的代码作碰撞检测。当碰撞发生，你可以生成一条新路径或者使用一些标准的移动规则(比如总是向右，等等)直到路上没有了障碍，然后再生成新路径。为什么在最初的路径计算中不考虑其他单位呢？那是因为其他单位会移动，当你到达他们原来的位置的时候，他们可能已经离开了。这有可能会导致奇怪的结果，一个单位突然转向，躲避一个已经不在那里的单位，并且会撞到计算完路径后，冲进它的路径中的单位。
然而，在寻路算法中忽略其他对象，意味着你必须编写单独的碰撞检测代码。这因游戏而异，所以我把这个决定权留给你。参考文献列表中，Bryan Stout的文章值得研究，里面有一些可能的解决方案(像鲁棒追踪，等等)。
- 一些速度方面的提示：当你开发你自己的A*程序，或者改写我的，你会发现寻路占据了大量的CPU时间，尤其是在大地图上有大量对象在寻路的时候。如果你阅读过网上的其他材料，你会明白，即使是开发了星际争霸或帝国时代的专家，这也无可奈何。如果你觉得寻路太过缓慢，这里有一些建议也许有效：
- 使用更小的地图或者更少的寻路者。
- 不要同时给多个对象寻路。取而代之的是把他们加入一个队列，把寻路过程分散在几个游戏周期中。如果你的游戏以40周期每秒的速度运行，没人能察觉。但是他们会发觉游戏速度突然变慢，当大量寻路者计算自己路径的时候。
- 尽量使用更大的地图网格。这降低了寻路中搜索的总网格数。如果你有志气，你可以设计两个或者更多寻路系统以便使用在不同场合，取决于路径的长度。这也正是专业人士的做法，用大的区域计算长的路径，然后在接近目标的时候切换到使用小格子/区域的精细寻路。如果你对这个观点感兴趣，查阅我的文章 ：Two-Tiered A* Pathfinding。
- 使用路径点系统计算长路径，或者预先计算好路径并加入到游戏中。
- 预处理你的地图，表明地图中哪些区域是不可到达的。我把这些区域称作“孤岛”。事实上，他们可以是岛屿或其他被墙壁包围等无法到达的任意区域。A*的下限是，当你告诉它要寻找通往那些区域的路径时，它会搜索整个地图，直到所有可到达的方格/节点都被通过开启列表和关闭列表的计算。这会浪费大量的CPU时间。可以通过预先确定这些区域（比如通过flood-fill或类似的方法)来避免这种情况的发生,用某些种类的数组记录这些信息，在开始寻路前检查它。在我Blitz版本的代码中，我建立了一个地图预处理器来作这个工作。它也标明了寻路算法可以忽略的死端，这进一步提高了寻路速度。
- 不同的地形损耗：在这个教程和我附带的程序中，地形只有两种－可通过的和不可通过的。但是你可能会需要一些可通过的地形，但是移动耗费更高－沼泽，小山，地牢的楼梯，等等。这些都是可通过但是比平坦的开阔地移动耗费更高的地形。类似的，道路应该比自然地形移动耗费更低。
这个问题很容易解决，只要在计算任何地形的G值的时候增加地形损耗就可以了。简单的给它增加一些额外的损耗就可以了。由于A*算法已经按照寻找最低耗费的路径来设计，所以很容易处理这种情况。在我提供的这个简单的例子里，地形只有可通过和不可通过两种，A*会找到最短，最直接的路径。但是在地形耗费不同的场合，耗费最低的路径也许会包含很长的移动距离－就像沿着路绕过沼泽而不是直接穿过它。
一种需额外考虑的情况是被专家称之为“influence mapping”的东西（暂译为影响映射图）。就像上面描述的不同地形耗费一样，你可以创建一格额外的分数系统，并把它应用到寻路的AI中。假设你有一张有大批寻路者的地图，他们都要通过某个山区。每次电脑生成一条通过那个关口的路径，它就会变得更拥挤。如果你愿意，你可以创建一个影响映射图对有大量屠杀事件的格子施以不利影响。这会让计算机更倾向安全些的路径，并且帮助它避免总是仅仅因为路径短(但可能更危险)而持续把队伍和寻路者送到某一特定路径。
- 处理未知区域：你是否玩过这样的PC游戏，电脑总是知道哪条路是正确的，即使它还没有侦察过地图？对于游戏，寻路太好会显得不真实。幸运的是，这是一格可以轻易解决的问题。
答案就是为每个不同的玩家和电脑（每个玩家，而不是每个单位－－那样的话会耗费大量的内存）创建一个独立的“knownWalkability”数组，每个数组包含玩家已经探索过的区域，以及被当作可通过区域的其他区域，直到被证实。用这种方法，单位会在路的死端徘徊并且导致错误的选择直到他们在周围找到路。一旦地图被探索了，寻路就像往常那样进行。
- 平滑路径：尽管A*提供了最短，最低代价的路径，它无法自动提供看起来平滑的路径。看一下我们的例子最终形成的路径（在图7）。最初的一步是起始格的右下方，如果这一步是直接往下的话，路径不是会更平滑一些吗？
有几种方法来解决这个问题。当计算路径的时候可以对改变方向的格子施加不利影响，对G值增加额外的数值。也可以换种方法，你可以在路径计算完之后沿着它跑一遍，找那些用相邻格替换会让路径看起来更平滑的地方。想知道完整的结果，查看 Marco Pinter 发表在 Gamasutra.com 的 一篇文章：Toward More Realistic Pathfinding (免费，但是需要注册)。
- Nicht quadratischer Suchbereich: In unserem Beispiel verwenden wir eine einfache quadratische 2D-Karte. Sie können diese Methode nicht verwenden. Sie können unregelmäßig geformte Bereiche verwenden. Denken Sie an das Abenteuerschachspiel und die Länder im Spiel. Sie können eine solche Wegweisungsstufe entwerfen. Dazu müssen Sie möglicherweise eine Tabelle mit den Nachbarbeziehungen zwischen Ländern und dem G-Wert erstellen, um von einem Land in ein anderes zu wechseln. Sie benötigen auch eine Methode zur Schätzung des Werts von H. Alles andere ist genau das gleiche wie im Beispiel. Wenn Sie der geöffneten Liste ein neues Element hinzufügen müssen, müssen Sie keine benachbarten Gitter verwenden. Suchen Sie stattdessen in der Tabelle nach benachbarten Ländern.
Ebenso können Sie ein Wegpunktsystem für eine bestimmte topografische Karte erstellen. Wegpunkte sind im Allgemeinen Wendepunkte auf Straßen oder Dungeonpassagen. Als Spieledesigner können Sie diese Wegpunkte voreinstellen. Zwei Wegpunkte gelten als benachbart, wenn sich auf der geraden Linie zwischen ihnen keine Hindernisse befinden. Im Fall von Abenteuerschach können Sie diese angrenzenden Informationen in einer Tabelle speichern und verwenden, wenn Sie der offenen Liste Elemente hinzufügen müssen. Anschließend können Sie den zugehörigen G-Wert (möglicherweise den geradlinigen Abstand zwischen den beiden Punkten), den H-Wert (der geradlinige Abstand zum Zielpunkt kann verwendet werden) und alles andere wie ursprünglich ausführen.
Ein weiteres Beispiel für die Suche nach RPG-Karten in nicht quadratischen Bereichen finden Sie in meinem Artikel: Zweistufige A * -Pfadfindung .
Weiterführende Literatur
Ok, jetzt haben Sie ein vorläufiges Verständnis für einige weitere Punkte. Zu diesem Zeitpunkt schlage ich vor, dass Sie meinen Quellcode studieren. Das Paket enthält zwei Versionen, eine in C ++ und die andere in Blitz Basic. Übrigens sind beide Versionen gut kommentiert und leicht zu lesen, hier ist der Link.例子代码：A* Pathfinder (2D) Version 1.71
如果你既不用C++也不用Blitz Basic,在C++版本里有两个小的可执行文件。Blitz Basic可以在从Blitz Basic网站免费下载的 litz Basic 3D(不是Blitz Plus)演示版上运行。Ben O''Neill提供一个联机演示可以在这里找到。
你也该看看以下的网页。读了这篇教程后，他们应该变得容易理解多了。
- Amit 的 A* 页面：这是由Amit Patel制作，被广泛引用的页面，如果你没有事先读这篇文章，可能会有点难以理解。值得一看。尤其要看Amit关于这个问题的自己的看法。
- Smart Moves：智能寻路：Bryan Stout发表在Gamasutra.com的这篇文章需要注册才能阅读。注册是免费的而且比起这篇文章和网站的其他资源，是非常物有所值的。Bryan用Delphi写的程序帮助我学习A*，也是我的A*代码的灵感之源。它还描述了A*的几种变化。
- 地形分析：这是一格高阶，但是有趣的话题，Dave Pottinge撰写，Ensemble Studios的专家。这家伙参与了帝国时代和君王时代的开发。别指望看懂这里所有的东西，但是这是篇有趣的文章也许会让你产生自己的想法。它包含一些对mip-mapping，influence mapping以及其他一些高级AI/寻路观点。对"flood filling"的讨论使我有了我自己的“死端”和“孤岛”的代码的灵感，这些包含在我Blitz版本的代码中。
其它一些值得一看的网站：
Weitere Referenzartikel:
Okay, das ist alles. Wenn Sie zufällig ein Programm schreiben, das diese Ideen verwendet, möchte ich aufschlussreich sein. Sie können mich so kontaktieren:
Jetzt viel Glück!
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