Es gibt viele Definitionen von Euler-Winkeln im Internet. Sie können herausfinden, ob Sie sie suchen, aber diese Konzepte und Definitionen scheinen zu verstehen, aber für einige Anfänger gibt es möglicherweise Orte, die schwer zu verstehen sind. Dieser Artikel gibt einige Ideen und versucht, dies zu beschreiben Wenn es Fehler gibt, korrigieren Sie mich bitte.
Dieser Artikel konzentriert sich auf die Beschreibung von Konzepten und beinhaltet keine spezifischen Berechnungen.
Schauen wir uns zuerst ein Problem an: Ein Punkt p im Raum dreht sich um eine Achse um einen Winkel von ω zum Punkt p '. Finden Sie die Koordinaten und die Rotationsmatrix von p'. Dies ist das Problem, das durch
Euler-Winkel gelöst werden muss. Die Euler-Winkelmethode wird dies jedoch tun "Eine Achse dreht sich um 1 Winkel" wird in "Dreht kontinuierlich 3 Winkel um 3 Achsen" zerlegt. (Das heißt, das Umrechnungsproblem von Achsenwinkel und Euler-Winkel können interessierte Schüler selbst studieren.)
Nach der Zerlegung erscheinen 3 Umdrehungen Achse und wenn die Richtung der drei Rotationsachsen gedreht wird, repräsentiert die Richtung der Rotationsachse (rechte Regel) die "Richtung", "Orientierung" oder "Orientierung", "Ausrichtung" des starren Körpers. Hier befinden sich diese Substantive Die Bedeutung einiger Euler-Winkelkonzepte.
Lassen Sie mich im Folgenden ausführlich erläutern. Anschließend werde ich ableiten, wie der Euler-Winkel berechnet wird.
Der Vektor eines Punktes p auf dem starren Körper im festen Koordinatensystem xyz ist v . Das aktive Koordinatensystem X0Y0Z0 auf dem starren Körper fällt mit xyz zusammen, und X0Y0Z0 bewegt sich synchron mit dem starren Körper.
Pronation / dynamischer Eulerwinkel
Innenrotation / dynamischer Eulerwinkel, Achsenfolge: Z0-X1-Y2; Winkelfolge: (γ, α, β).
Dreimalige Drehung gegen den Uhrzeigersinn, das aktive Koordinatensystem ist oX0Y0Z0-> oX1Y1Z1-> oX2Y2Z2-> oX3Y3Z3.
Stellen Sie nach Abschluss von 3 Umdrehungen den Vektor des Punkts p in oX3Y3Z3 auf V3 ein . Da es sich um eine synchrone Umdrehung handelt, ist V3 = v . Es
ist zu beachten, dass die Achse der Innenrotation die "Achse des aktiven Koordinatensystems" ist. Oder "aktive Koordinate". Um die eigene Achse gebunden "
Was nun berechnet werden muss, ist "oX3Y3Z3-Vektor V3 in oX0Y0Z0-Vektor V30 ". Dies entspricht der Berechnung:
"P-Punkt nach 3 Umdrehungen" ist "oX0Y0Z0-Vektor V30 ". Weil oX0Y0Z0 auch mit Oxyz zusammenfällt Es ist der Vektor V30 von "Punkt p nach 3 Umdrehungen" in Oxyz zu berechnen .
V3 ist der Vektor in oX3Y3Z3 und der Vektor in oX0Y0Z0 ist V30 . Das Finden von V30 gemäß V3 ist offensichtlich eine Koordinatentransformation, die den Vektor V3 in oX3Y3Z3 in den Vektor V30 in oX0Y0Z0 transformieren soll . Die Transformationsmatrix sei R, Dann: V30 = R * V3 benötigt nur die Transformationsmatrix R, dann kann V30 erhalten werden .
Natürlich ist es sehr mühsam, R direkt zu finden, daher müssen Sie R durch indirekte Methoden finden. Die Berechnung ist hauptsächlich in drei Schritte unterteilt:
1. Suchen Sie zuerst den Vektor V32 von V3 in oX2Y2Z2, dh transformieren Sie den Vektor V3 in oX3Y3Z3 in V32 in oX2Y2Z2 Entspricht dem Koordinatensystem oX3Y3Z3 um die Rotationsachse oY3 Drehung β im Uhrzeigersinn β zur Position oX2Y2Z2 (oder Drehung gegen den Uhrzeigersinn -β zur Position oX2Y2Z2). Stellen Sie die Transformationsmatrix auf R32, es gibt: V32 = R (Y3, -β) * V3
2. Finden Sie den Vektor V31 von V32 in oX1Y1Z1, dh transformieren Sie den Vektor V32 in oX2Y2Z2 in oX1Y1Z1. Er entspricht dem Koordinatensystem oX3Y3Z3 von der Position oX2Y2Z2 und der Rotationsachse oX2 im Uhrzeigersinn α bis oX1Y1Z1 (oder gegen den Uhrzeigersinn) oX1Y1Z1 Position) Angenommen, die Transformationsmatrix ist R31, es gibt: V31 = R (X2, -α) * V32
3. Finden Sie den Vektor V30 von V31 in oX0Y0Z, dh transformieren Sie den Vektor V31 in oX1Y1Z1 in oX0Y0Z0. Er entspricht dem Koordinatensystem oX3Y3Z3 von der Position oX1Y1Z1 und der Rotationsachse oZ1 im Uhrzeigersinn γ zur Position oX0Y0Z (oder gegen den Uhrzeigersinn-γ bis) oX0Y0Z0 Position) ... Angenommen, die Transformationsmatrix ist R (Z1, -γ), es gibt: V30 = R (Z1, -γ) * V31
4. Endlich erhalten: V30 = R (Z1, -γ) * V31 = R (Z1, -γ) * R (X2, -α) * V32 = R (Z1, -γ) * R (X2, -α ) * R (Y3, -β) * V3 .
5. (复合 矩阵 矩阵 R (γ, α, β): V30 = R (γ, α, β) * V3 = R (γ, α, β) * v .
R (γ, α, β) = R (Z1, -γ) * R (X2, -α) * R (Y3, -β)
Das Endergebnis ist: das 
endgültige Ergebnis das gleiche wie das Ergebnis in der ist Beschreibung von Wanweipedia. Bitte den Link Beschreibung hinzuzufügen (die letzte Z1X2Y3 = ... Beachten Sie, dass diese Z1X2Y3 die Reihenfolge der Matrixmultiplikation repräsentiert Dieses Ergebnis ist eigentlich eine statische Euler. Winkel zusammengesetzte Rotationsmatrix, ihre Winkelordnung (γ, α, β), Achsenordnung ist yxz, aber statische / dynamische Eulerwinkel sind äquivalent, so dass sie äquivalent zu dynamischem Eulerwinkel (γ, α, β), Achsenordnung Z0- ist X1-Y2).
In Bezug auf die zusammengesetzte Rotationsmatrix und die zusammengesetzte Transformationsmatrix gilt
die oben erwähnte zusammengesetzte Transformationsmatrix für das aktive Koordinatensystem und beinhaltet die Transformation von Koordinaten im aktiven Koordinatensystem. Der
obige Rotationsprozess kann auch als Punkt auf dem starren Körper von p im festen Koordinatensystem oxyz betrachtet werden Die Koordinaten werden kontinuierlich um 3 verschiedene Achsen (3 gerade Linien in Oxyz) zur p'-Koordinate gedreht, und die zusammengesetzte Rotationsmatrix ist R, dann:
p '= R * p.
Die zusammengesetzte Rotationsmatrix R hat hier tatsächlich eine zusammengesetzte Transformation Matrix R (γ, α, β): R = R (γ, α, β)
Anmerkung: p, p'both repräsentieren die Koordinaten im festen Koordinatensystem oxyz, was nichts mit dem aktiven Koordinatensystem zu tun hat.
Obwohl die "Transformationsmatrix" im Berechnungsprozess verwendet wird, besteht das ultimative Ziel tatsächlich darin, die "zusammengesetzte Rotationsmatrix" zu finden, um die Koordinaten von p 'zu finden.
Außenrotation / stationärer Eulerwinkel
Außenrotation / statischer Eulerwinkel, Achsenreihenfolge: yxz; Winkelreihenfolge: (γ, α, β).
Dreimal gegen den Uhrzeigersinn gedreht, ist das aktive Koordinatensystem oX0Y0Z0-> oX1Y1Z1-> oX2Y2Z2-> oX3Y3Z3.
Beachten Sie, dass extern Die Rotationsachse des Spins ist die "Achse des festen Koordinatensystems". Mit anderen Worten, das aktive Koordinatensystem dreht sich um die "Koordinatenachse des festen Koordinatensystems", anstatt sich um seine eigene Koordinatenachse zu drehen.
Diese Art von Euler-Winkel ist leichter zu verstehen. Es ist notwendig, die zxy-Koordinatenachse (β, α, γ) im 3D-Koordinatensystem oxyz kontinuierlich zu drehen. Es gibt keine Erklärung.
Da sich der Punkt p auf dem starren Körper immer um die Koordinatenachse des festen Koordinatensystems oxyz dreht, hat dies nichts mit dem aktiven Koordinatensystem zu tun, und der Berechnungsprozess beinhaltet nicht das aktive Koordinatensystem.
Stellen Sie den Vektor v des Punktes p im festen Koordinatensystem oxyz ein .
Berechnungsprozess:
1. Bei der ersten Drehung dreht sich der Punkt p γ gegen den Uhrzeigersinn um die y-Achse, stellen Sie die grundlegende Rotationsmatrix r (y, γ) und den gedrehten Vektor v1 ein : v1 = r (y, γ) v . 2. Für die zweite Drehung dreht sich der Punkt p weiter gegen den Uhrzeigersinn α um die x-Achse, setzt die grundlegende Rotationsmatrix r (x, α) und den gedrehten Vektor v2 : v2 = r (x , α) v1 . 3. Für die dritte Drehung dreht sich der Punkt p weiter um β gegen den Uhrzeigersinn um die z-Achse, setzt die grundlegende Rotationsmatrix r (z, β) und den gedrehten Vektor v3 : v3 = r (z, β) v2 4 . v3 = r (z, β) v2 = r (z, α) r (x, α) v1 = r (z, β) R (x, α) r (y, γ) v . die Verbindung drehen lassen 5. Matrix r (γ, α, β): v3 = r (γ, α, β) v r (γ, α, β) = R (z, β)
r (x, α) r (y, γ)
Endergebnis: 
Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis der Wanwei- Enzyklopädie überein. Fügen Sie bitte die Linkbeschreibung hinzu (das letzte Z1X2Y3 = ... Z1X2Y3 ist die Reihenfolge der grundlegenden Rotationsmatrixmultiplikation, die Achsenreihenfolge ist tatsächlich yxz ).
Innenrotation und Außenrotation sind gleichwertig
Der Euler-Winkel der Innenrotation und der Euler-Winkel der Außenrotation sind äquivalent, was bedeutet, dass die endgültige "zusammengesetzte Rotationsmatrix dieselbe ist", wie oben berechnet:
r (γ, α, β) = r (z, β) r (x, α) r (y, γ) = R (γ, α, β) = R (Z1, -γ) R (X2, -α) R (Y3, -β)
Natürlich der "Winkel dieser beiden Euler-Winkel Die Reihenfolge ist die gleiche "," die Achsenreihenfolge ist entgegengesetzt ".