SGU-106 Die Gleichung (Erweitertes Europa + detaillierte Verarbeitung)

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Thema

给出$ax+by+c=0\; ist$ eine binäre unbestimmte Gleichung ersten Grades, die$\left\{\right(x,y)|x\in [lx,rx],Y.\in [ly,ry]\}$ Die Anzahl der Lösungen.

Ideen zur Problemlösung

Ich dachte, ich hätte viele Fragen über die Expansion Europas geschrieben und ich wusste es gut, aber diese Frage traf mich wieder, $wa$ Zweifel am Leben ...

Erstens ist es nicht schwer zu glauben, dass wenn $c$ , das auf die rechte Seite der Gleichung verschoben wird, ist immer noch negativ, also sollteccsein$c$ wechselt gleichzeitig das Vorzeichen$a,b$ sollte auch das Vorzeichen ändern, aber zu diesem Zeitpunkt$a,$Das Vorzeichen von$b$ kann negativ sein. Am Anfang war meine Idee, auf die unabhängigen Variablenx, yx, yzu verweisen$x,y$ , dh$|a|(-x)+|b|(-y)=c$ , und nehmen Sie dann das Negativ direkt nach dem Finden der speziellen Lösung. Ist das nicht möglich? Ja, aber nicht in dieser Frage. Die Gründe sind folgende:

Angenommen, wir berücksichtigen nicht a, ba, b , da wir die Anzahl der Lösungen in einem bestimmten Lösungsraum benötigen$a,$das Symbol von$b$ , dann wird die obige Gleichung in$x=\frac{c-by}{ein}$， Dies $Ein$ Post-Sign-Wechsel wirkt sich direkt auf die endgültige Form der allgemeinen Lösung aus. Wenn wir alsoaamöchten$Bei\; einer$ Negation ist der richtige Weg durch die Umkehrung des Lösungsraums gegeben, d. h. wird$[-rx,-Lx]$ für$y\; ist\; das$ gleiche.

Nachdem wir die allgemeine Lösung gelöst haben, müssen wir die Anzahl der Lösungen ermitteln, da $x,$Die Transformation von$y$ ist das Gegenteil. Es scheint schwierig zu beginnen, aber tatsächlich müssen wir nur diese Ungleichunglx ≤ x 0 + k 1 bgcd (a, b) ≤ rx lx \ leq x_0 + k_1 \ frac {blösen$lx\le x_0+k_1\frac{b}{gcd(a,b)}\le rx$ find$x$ im Lösungsraum$k_1$Der Wertebereich und dann $y$ s$k_2$Nehmen Sie für den Wertebereich von nur einen Schnittpunkt der beiden. Zu diesem Zeitpunkt müssen Sie erneut aufpassen: Die linke Seite sollte abgerundet und die rechte Seite sollte abgerundet sein. Zeichnen Sie ein Bild, um es zu verstehen.

Es gibt ein spezielles Urteil $ein=0,b=$Drei Fälle von$0$

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// Created by Happig on 2020/10/30
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#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>

using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define ENDL "\n"
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x, y) make_pair(x,y)
#define mem(a, x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<double, double> pdd;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double dinf = 1e300;
const ll INF = 1e18;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 10;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    
    
    if (!b) {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

ll gcd(ll a, ll b) {
    
    
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main() {
    
    
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    //ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    ll a, b, c, lx, rx, ly, ry;
    cin >> a >> b >> c >> lx >> rx >> ly >> ry;
    c = -c;
    if (c < 0) c = -c, a = -a, b = -b;
    if (a < 0) a = -a, swap(lx, rx), lx = -lx, rx = -rx;
    if (b < 0) b = -b, swap(ly, ry), ly = -ly, ry = -ry;
    if (a == 0 && b == 0) {
    
    
        if (c == 0) cout << (rx - lx + 1) * (ry - ly + 1) << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    } else if (a == 0) {
    
    
        if (c % b == 0 && ly <= c / b && c / b <= ry) cout << rx - lx + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    } else if (b == 0) {
    
    
        if (c % a == 0 && lx <= c / a && c / a <= rx) cout << ry - ly + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    ll d = gcd(a, b);
    if (c % d) {
    
    
        cout << "0" << endl;
    } else {
    
    
        ll x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        x = x * c / d, y = y * c / d;
        //cout << x << " " << y << endl;
        a /= d, b /= d;
        int l = max(ceil(1.0 * (lx - x) / b), ceil(1.0 * (y - ry) / a)), r = min(floor(1.0 * (rx - x) / b),
                                                                                 floor(1.0 * (y - ly) / a));
        if (r >= l) cout << r - l + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
    }
    return 0;
}