一、前言
旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）一直是运筹学与计算智能领域的经典难题：给定若干城市，要求在访问每个城市恰好一次的前提下规划一条最短（或代价最低）的巡回路线。由于TSP具备组合爆炸特性，当城市数量增多时，问题规模呈指数增长，故而在精确算法难以短时间内求解的情况下，群体智能算法与元启发式算法应运而生。粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种基于群体协同和个体最优记忆的随机搜索技术，最初应用于连续空间优化，而后逐步衍生出适应离散优化（如TSP）的问题变体。
二、技术与原理简介
1. 旅行商问题（TSP）概述
旅行商问题可描述为：在一张含有 n 个城市节点的加权完全图上，寻找一条最短回路，使得该回路经过每个城市一次且仅一次并最终回到起点。形式化定义如下：
- 给定城市集合 V={1,2,…,n}；
- 城市间距离（或代价）矩阵 D=[dij]，其中 dij 表示从城市 i 到城市 j 的距离，且 dij=dji（对称TSP）；
- 目标：寻找一个排列 π（即访问顺序），使得以下目标函数最小化：
其中，π(k) 表示第 k 个访问的城市索引。
TSP 是 NP-hard 问题，城市数稍大时，若使用穷举或动态规划则计算量极其庞大，因此实际应用中多采用近似算法或启发式/元启发式算法（如遗传算法GA、蚁群算法ACO、粒子群算法PSO等）。
2. 粒子群优化（PSO）简介
PSO 最初由 Eberhart 与 Kennedy 在 1995 年提出，灵感来自鸟群或鱼群的协同搜索行为。它通过一群“粒子”在解空间中迭代更新位置和速度，逐渐逼近最优解。
在经典连续PSO中，每个粒子 iii 拥有位置向量 xi 和速度向量 vi，并存储个体历史最优位置 pi 以及全局历史最优位置 g。更新方程通常写作：
其中：w 为惯性权重；c1,c2 为加速度常数；r1,r2 为 [0,1] 之间的随机数。
3. TSP-PSO 的离散化与关键挑战
TSP 的解是一个城市访问序列，而不是连续向量，因此需要对PSO做以下改造或启发式操作：
-
位置表示
- 将“位置”定义为一个长度为 n 的城市序列（Permutation），粒子之间交换或交叉片段可视为位置更新；
- 或将“位置”视为排列映射，如 xi = [城市1, 城市2, ..., 城市n]。
-
速度与更新
- 速度难以在离散序列上直接定义，故往往通过交叉（Crossover）、变异（Mutation）等算子来替代PSO中的速度概念；
- 有些文献中采用“交换序列”或“邻域变换”来模拟PSO速度。
-
个体最优 pi 与全局最优 g
- 对应各自历史上取得最小路径长度的城市顺序；
- 在更新时，部分片段或基因来自 pi 与 g，以实现“粒子”向更优解收敛。
总之，TSP-PSO大多呈现出“半PSO、半GA”的混合风格：利用PSO的全局记忆机制与GA的交叉/变异运算，令粒子在离散的排列空间中迭代演化。
三、代码详解
本文的 MATLAB 代码主要分为以下几个部分：
1. 数据加载与可视化
data=load('eil51.txt');
cityCoor=[data(:,2) data(:,3)];%城市坐标矩阵
figure
plot(cityCoor(:,1),cityCoor(:,2),'ms','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor','g')
legend('城市位置')
ylim([4 78])
title('城市分布图','fontsize',12)
xlabel('km','fontsize',12)
ylabel('km','fontsize',12)
grid on
说明：
load('eil51.txt')：载入城市数据文件，这里eil51.txt常见于TSP实例数据，含有51个城市的坐标；cityCoor提取第二、三列作为坐标（第一列常为城市编号）；- 通过
plot命令绘制城市分布图，并加上图例、坐标轴说明、网格等修饰。 ylim([4 78])是对y轴范围做适当限制。- 该步骤可帮助读者直观了解城市在平面坐标系的散点分布，为后续算法验证打下基础。
2. 计算城市间距离矩阵
n=size(cityCoor,1); %城市数目
cityDist=zeros(n,n); %城市距离矩阵
for i=1:n
for j=1:n
if i~=j
cityDist(i,j)=((cityCoor(i,1)-cityCoor(j,1))^2+...
(cityCoor(i,2)-cityCoor(j,2))^2)^0.5;
end
cityDist(j,i)=cityDist(i,j);
end
end
说明：
n=size(cityCoor,1)获取城市数目；cityDist初始化 n×n 矩阵，用于存储两两城市的欧几里得距离；- 双重
for循环计算distance = sqrt((x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2)； - 代码中将
cityDist(j,i)=cityDist(i,j)做对称赋值，说明该 TSP 是对称的。
3. 种群初始化
nMax=200; %进化次数
indiNumber=1000; %个体数目
individual=zeros(indiNumber,n);
%初始化粒子位置
for i=1:indiNumber
individual(i,:)=randperm(n);
end
说明：
nMax=200表示最大迭代轮数；indiNumber=1000指定粒子（或个体）数目为1000，较大规模有助于增强多样性；individual用于存放每个粒子的路径序列，每行一个路径。randperm(n)产生长度为 n 的随机排列，保证不重复访问城市。
4. 计算适应度并初始化
indiFit=fitness(individual,cityCoor,cityDist);
[value,index]=min(indiFit);
tourPbest=individual; %当前个体最优
tourGbest=individual(index,:) ; %当前全局最优
recordPbest=inf*ones(1,indiNumber); %个体最优记录
recordGbest=indiFit(index); %群体最优记录
xnew1=individual;
说明：
indiFit=fitness(...)：调用自定义函数fitness计算每个个体的路径长度；[value,index]=min(indiFit)找到适应度最低（路径最短）者，作为全局最优；tourPbest=individual;将初始个体自身当作“个体最优”，tourGbest为全局最优；recordPbest记录每个个体迄今最好的适应度值；recordGbest记录全局最优适应度。xnew1=individual;用于暂存交叉、变异后的新解。
5. 主循环
L_best=zeros(1,nMax);
for N=1:nMax
N
%计算适应度值
indiFit=fitness(individual,cityCoor,cityDist);
%更新当前最优和历史最优
for i=1:indiNumber
if indiFit(i)<recordPbest(i)
recordPbest(i)=indiFit(i);
tourPbest(i,:)=individual(i,:);
end
if indiFit(i)<recordGbest
recordGbest=indiFit(i);
tourGbest=individual(i,:);
end
end
[value,index]=min(recordPbest);
recordGbest(N)=recordPbest(index);
%% 交叉操作
for i=1:indiNumber
% 与个体最优进行交叉
...
% 与全体最优进行交叉
...
%% 变异操作
...
end
[value,index]=min(indiFit);
L_best(N)=indiFit(index);
tourGbest=individual(index,:);
end
说明：
L_best(N)=...：记录第 N 次迭代后的群体最佳适应度；- 交叉操作：分两步进行，先与个体最优交叉，再与全局最优交叉；
- 通过
c1, c2随机产生交叉位； - 将对应片段插入当前解并去除重复城市；
- 若新路径距离更短则更新；
- 通过
- 变异操作：随机选两个位置交换，若改进则保留；
- 通过这三个步骤（与pbest交叉、与gbest交叉、变异），相当于离散PSO中位置更新+速度概念的混合操作；
- 更新完后再次寻找当代最优并存储到
L_best(N)。
6. 结果作图
figure
plot(L_best)
title('算法训练过程')
xlabel('迭代次数')
ylabel('适应度值')
grid on
figure
hold on
plot([cityCoor(tourGbest(1),1),cityCoor(tourGbest(n),1)],...
[cityCoor(tourGbest(1),2),cityCoor(tourGbest(n),2)],...
'ms-','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor','g')
...
scatter(cityCoor(:,1),cityCoor(:,2));
title('规划路径','fontsize',10)
xlabel('km','fontsize',10)
ylabel('km','fontsize',10)
grid on
ylim([4 80])
说明：
- 第一幅图：
plot(L_best)显示迭代过程中最佳适应度（最短路径）的变化，若曲线逐渐收敛说明算法在改进； - 第二幅图：绘制最终最优路径
tourGbest；- 先连最后一个城市与第一个城市，再连相邻城市；
- 用散点或标记展示各城市位置，直观呈现路线走向。
7. 完整代码
%% 该文件演示基于TSP-PSO算法
clc;clear
%% 下载数据
data=load('eil51.txt');
cityCoor=[data(:,2) data(:,3)];%城市坐标矩阵
figure
plot(cityCoor(:,1),cityCoor(:,2),'ms','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor','g')
legend('城市位置')
ylim([4 78])
title('城市分布图','fontsize',12)
xlabel('km','fontsize',12)
ylabel('km','fontsize',12)
%ylim([min(cityCoor(:,2))-1 max(cityCoor(:,2))+1])
grid on
%% 计算城市间距离
n=size(cityCoor,1); %城市数目
cityDist=zeros(n,n); %城市距离矩阵
for i=1:n
for j=1:n
if i~=j
cityDist(i,j)=((cityCoor(i,1)-cityCoor(j,1))^2+...
(cityCoor(i,2)-cityCoor(j,2))^2)^0.5;
end
cityDist(j,i)=cityDist(i,j);
end
end
nMax=200; %进化次数
indiNumber=1000; %个体数目
individual=zeros(indiNumber,n);
%^初始化粒子位置
for i=1:indiNumber
individual(i,:)=randperm(n);
end
%% 计算种群适应度
indiFit=fitness(individual,cityCoor,cityDist);
[value,index]=min(indiFit);
tourPbest=individual; %当前个体最优
tourGbest=individual(index,:) ; %当前全局最优
recordPbest=inf*ones(1,indiNumber); %个体最优记录
recordGbest=indiFit(index); %群体最优记录
xnew1=individual;
%% 循环寻找最优路径
L_best=zeros(1,nMax);
for N=1:nMax
N
%计算适应度值
indiFit=fitness(individual,cityCoor,cityDist);
%更新当前最优和历史最优
for i=1:indiNumber
if indiFit(i)<recordPbest(i)
recordPbest(i)=indiFit(i);
tourPbest(i,:)=individual(i,:);
end
if indiFit(i)<recordGbest
recordGbest=indiFit(i);
tourGbest=individual(i,:);
end
end
[value,index]=min(recordPbest);
recordGbest(N)=recordPbest(index);
%% 交叉操作
for i=1:indiNumber
% 与个体最优进行交叉
c1=unidrnd(n-1); %产生交叉位
c2=unidrnd(n-1); %产生交叉位
while c1==c2
c1=round(rand*(n-2))+1;
c2=round(rand*(n-2))+1;
end
chb1=min(c1,c2);
chb2=max(c1,c2);
cros=tourPbest(i,chb1:chb2);
ncros=size(cros,2);
%删除与交叉区域相同元素
for j=1:ncros
for k=1:n
if xnew1(i,k)==cros(j)
xnew1(i,k)=0;
for t=1:n-k
temp=xnew1(i,k+t-1);
xnew1(i,k+t-1)=xnew1(i,k+t);
xnew1(i,k+t)=temp;
end
end
end
end
%插入交叉区域
xnew1(i,n-ncros+1:n)=cros;
%新路径长度变短则接受
dist=0;
for j=1:n-1
dist=dist+cityDist(xnew1(i,j),xnew1(i,j+1));
end
dist=dist+cityDist(xnew1(i,1),xnew1(i,n));
if indiFit(i)>dist
individual(i,:)=xnew1(i,:);
end
% 与全体最优进行交叉
c1=round(rand*(n-2))+1; %产生交叉位
c2=round(rand*(n-2))+1; %产生交叉位
while c1==c2
c1=round(rand*(n-2))+1;
c2=round(rand*(n-2))+1;
end
chb1=min(c1,c2);
chb2=max(c1,c2);
cros=tourGbest(chb1:chb2);
ncros=size(cros,2);
%删除与交叉区域相同元素
for j=1:ncros
for k=1:n
if xnew1(i,k)==cros(j)
xnew1(i,k)=0;
for t=1:n-k
temp=xnew1(i,k+t-1);
xnew1(i,k+t-1)=xnew1(i,k+t);
xnew1(i,k+t)=temp;
end
end
end
end
%插入交叉区域
xnew1(i,n-ncros+1:n)=cros;
%新路径长度变短则接受
dist=0;
for j=1:n-1
dist=dist+cityDist(xnew1(i,j),xnew1(i,j+1));
end
dist=dist+cityDist(xnew1(i,1),xnew1(i,n));
if indiFit(i)>dist
individual(i,:)=xnew1(i,:);
end
%% 变异操作
c1=round(rand*(n-1))+1; %产生变异位
c2=round(rand*(n-1))+1; %产生变异位
while c1==c2
c1=round(rand*(n-2))+1;
c2=round(rand*(n-2))+1;
end
temp=xnew1(i,c1);
xnew1(i,c1)=xnew1(i,c2);
xnew1(i,c2)=temp;
%新路径长度变短则接受
dist=0;
for j=1:n-1
dist=dist+cityDist(xnew1(i,j),xnew1(i,j+1));
end
dist=dist+cityDist(xnew1(i,1),xnew1(i,n));
if indiFit(i)>dist
individual(i,:)=xnew1(i,:);
end
end
[value,index]=min(indiFit);
L_best(N)=indiFit(index);
tourGbest=individual(index,:);
end
%% 结果作图
figure
plot(L_best)
title('算法训练过程')
xlabel('迭代次数')
ylabel('适应度值')
grid on
figure
hold on
plot([cityCoor(tourGbest(1),1),cityCoor(tourGbest(n),1)],[cityCoor(tourGbest(1),2),...
cityCoor(tourGbest(n),2)],'ms-','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor','g')
hold on
for i=2:n
plot([cityCoor(tourGbest(i-1),1),cityCoor(tourGbest(i),1)],[cityCoor(tourGbest(i-1),2),...
cityCoor(tourGbest(i),2)],'ms-','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor','g')
hold on
end
legend('规划路径')
scatter(cityCoor(:,1),cityCoor(:,2));
title('规划路径','fontsize',10)
xlabel('km','fontsize',10)
ylabel('km','fontsize',10)
grid on
ylim([4 80])
8. 子代码 dist.m
function dist=dist(x,D)
n=size(x,2);
dist=0;
for i=1:n-1
dist=dist+D(x(i),x(i+1));
end
dist=dist+D(x(1),x(n));
9. 子代码 fitness.m
function indiFit=fitness(x,cityCoor,cityDist)
%% 该函数用于计算个体适应度值
%x input 个体
%cityCoor input 城市坐标
%cityDist input 城市距离
%indiFit output 个体适应度值
m=size(x,1);
n=size(cityCoor,1);
indiFit=zeros(m,1);
for i=1:m
for j=1:n-1
indiFit(i)=indiFit(i)+cityDist(x(i,j),x(i,j+1));
end
indiFit(i)=indiFit(i)+cityDist(x(i,1),x(i,n));
end 
四、总结与思考
-
算法收敛与性能
- 该TSP-PSO思路通过“个体最优 + 全局最优 + 交叉 + 变异”的方式替代传统PSO的速度更新，将PSO的记忆与协同特性移植到TSP排列空间；
- 实践表明，对于中小规模的TSP（如 50~200 个城市），此方法可较快收敛到较优解，且实现相对简洁。
-
局限性
- 对大规模TSP（上千城市）仍有收敛速度与解质量的挑战，需要并行化或更复杂的交叉/变异策略；
- 算法参数如
indiNumber=1000、nMax=200在不同TSP实例下需做调参； - 交叉与变异对离散PSO的贡献较大，但也可能造成一定的随机扰动，需要在保持种群多样性与加速收敛间平衡。
-
可拓展方向
- 混合算法：可与遗传算法（GA）或禁忌搜索（Tabu Search）结合，进一步提升精度；
- 自适应策略：在迭代过程中自动调节交叉率、变异率，或引入动态惯性权重；
- 并行与GPU加速：对大规模TSP，可将适应度计算和群体操作并行化；
- 多目标扩展：若考虑耗时、费用、车辆载重等多维度约束，可将TSP-PSO推广到车辆路径问题（VRP）等更复杂场景。
-
实际应用
- TSP-PSO在物流、旅行规划、印刷电路板钻孔、机器人巡检等场合均有潜在应用价值；
- 若结合地理信息系统（GIS）或云计算平台，可为城市级别路径规划提供启发式求解。
【作者声明】
本文内容基于作者对 PSO-TSP实现过程的实验与总结，所有数据和代码均为原创。文章中的观点仅代表个人见解，供读者参考交流。若有任何问题或建议，欢迎在评论区留言讨论，共同促进技术进步。
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