【学习记录】稳定婚姻问题

定义

题意：有 $n$ 男 $n$ 女，每一个人都对其他 $n$ 个异性有不同程度的喜爱，用一个长为 $n$ 的列表表示，列表中的异性按喜爱程度从高到低排列。问能否找出一个结婚方案，使得不存在两对夫妻 $(m, w'), (m', w)$，使得 $m$ 比起 $w'$ 更喜爱 $w$， $w$ 比起 $m'$ 更喜爱 $m$，

如果两对夫妻 $(m, w'), (m', w)$ 没有上述情况就称这两对夫妻是稳定的，否则就是不稳定的。

用图论的语言描述，我们要找的结婚方案就是二分图中的一个完美匹配，且要是一个稳定匹配。

Gale-Shapley 算法

这是一个符合直觉的算法，直接写成伪代码就能表述意思。

初始化：所有男女都没有对象

WHILE 还有某个男性没有对象，且其尚未追求过所有女性
    选择这样一个男性 m
    设 w 为 m 尚未追求过的，且 m 喜爱程度最高的女性

    IF w 没有对象
        让 (m, w) 暂时结对
    ELSE
        设当前 w 与 m' 是一对
        IF w 比起 m' 更喜欢 m
            让 (m, w) 暂时结对，m' 变为没有对象
        ELSE
            m 被拒绝，仍然没有对象
END

最后所有结对的男女即成夫妻。

算法正确性

1. 算法是否会终止？

   会，在 $n^2$ 轮内终止。原因显然。

2. 算法是否找到完美匹配？

   是，否则必然有一对男女都没有对象，而该男性由于没有对象一定会追求该女性，使得两者结对。

3. 算法是否找到稳定匹配？

   是，考虑最终结果中任意两对夫妻 $(m, w'), (m', w)$。如果 $m$ 追求过 $w$，那么 $w$ 比起 $m$ 更喜爱 $m'$；否则由于男性按照喜爱程度降序选择女性， $m$ 比起 $w$ 更喜爱 $w'$。无论哪种情况，这两对夫妻都是稳定的。

算法其他特性

定义女性 $w$ 是男性 $m$ 的可行对象（valid partner），若存在某个稳定匹配，使得 $(m, w)$ 是一对夫妻。对女性的男性可行对象定义类似。

定理：无论以何种方式实现算法，算法都只会返回唯一的结果。且该结果满足：

1. 对任意男性最优：算法给出的其妻子，都是所有可行对象中，他的喜爱程度最高的。
2. 对任意女性最劣：算法给出的其丈夫，都是所有可行对象中，她的喜爱程度最低的。

证明：设算法给出的匹配是 $S^*$。我们先证明第一点。

考虑反证。由于男性追求女性是按照喜爱程度降序，因此如果存在男性 $m$，使得其妻子 $w$ 不是所有可行对象中， $m$ 的喜爱程度最高的，那么 $m$ 已经被之前的某个喜爱程度更高的可行对象 $w'$ 拒绝过了。

不妨假设 $m$ 是算法执行过程中第一个受到如此待遇的男性。按照定义，存在另一个稳定匹配 $S$，使得 $(m, w')$ 是一对夫妻。

设 $S^*$ 中， $w'$ 的丈夫是 $m'$。显然 $w$ 喜爱 $m'$ 甚于 $m$。

再设 $S$ 中， $m'$ 的妻子为 $w''$。那么由于之前所设， $m$ 是第一个被更喜爱的可行对象拒绝的男性，那么 $m'$ 会在 $S^*$ 中与 $w'$ 而不是 $w''$ 结婚，就只能是因为 $m'$ 喜爱 $w'$ 甚于 $w''$。否则， $m'$ 会先追求 $w''$，被拒绝后才会追求 $w'$，而这与之前所设矛盾。

由此可得在 $S$ 中， $(m, w'), (m', w'')$ 是不稳定的两对夫妻，这与 $S$ 是稳定匹配相矛盾。

再证明第二点。假设算法给出的匹配 $S^*$ 中存在女性 $w$，使得其丈夫 $m$ 不是所有可行对象中， $w$ 的喜爱程度最低的，那么存在另一个稳定匹配 $S$，使得 $w$ 与所有可行对象中喜爱程度最低的 $m'$ 结对。显然， $w$ 喜爱 $m'$ 甚于 $m$。

设 $m$ 在 $S$ 中的妻子是 $w'$。那么由于男性最优性， $m$ 喜爱 $w'$ 甚于 $w$。这导致 $(m', w), (m, w')$ 是不稳定的两对夫妻，这与 $S$ 是稳定匹配相矛盾。

代码实现

以 UVa 1175 为例，实现这一算法。时间复杂度为 $O(n^2)$。

int n, pref[1005][1005], rnk[1005][1005];
// 分别为男对女的喜爱值列表，女对男的喜爱值排名（降序）
int cur[1005], wife[1005], husband[1005];
// 当前追求到哪一个
queue<int> q;
// 用队列辅助求解
void GS(){
    memset(wife, 0, sizeof(wife));
    memset(husband, 0, sizeof(husband));
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cur[i] = 1, q.push(i);
    while (!q.empty()){
        int h = q.front();
        q.pop();
        int targ = pref[h][cur[h]++];
        if (!husband[targ] || rnk[targ][h] < rnk[targ][husband[targ]]){
            wife[h] = targ;
            if (husband[targ] > 0){
                wife[husband[targ]] = 0;
                q.push(husband[targ]);
            }
            husband[targ] = h;
        } else if (cur[h] <= n){
            q.push(h);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%d\n", wife[i]);
}

参考资料

• 《Algorithm Design》