经验分布函数及其性质（1-5）

经验分布函数定义

设 ( X 1 , X 2 , … , X n ) 是来自总体 X 的一个样本， 其观测值为 ( x 1 , x 2 , … , x n ) ，对于任意 x （ - ∞< x <∞），用 S ( x ) 表示 x 1 , x 2 , … , x n 中小于 x 的个数， 定义 经验分布函数 为

      x  （-∞ ，∞ ）

 

S ( x ) = x 1 , x 2 , … , x n 中小于 x 的个数

例题1

 

设 (3,1,7) 是来自总体 X 的一个样本值，则 经验 分布函数 为

 

               

例题2

设 (3,1,7,3,3,1) 是来自总体 X 的一个样本值， 则 经验分布函数 为

              

 

经验分布函数的性质

（ 1 ） 对每一组样本观测值 ( x 1 , x 2 , … , x n ) ，经验 分布函数 F n ( x ) 是一个分布函数。

（ 2 ） 对于固定的 x （ -∞< x <∞ ） ，经验分布 函数 F n ( x ) 是样本 ( X 1 , X 2 , … , X n ) 的函数， 从而是统计量（随机变量）。

（3）当样本容量 n 足够大时，总体的经验分布 函数是它的理论分布函数很好的近似。