传染病模型——波利亚坛子

问题描述

坛子中有b只黑球及r只红球，随机取一只，把原球放回，并加进与抽出球同色的球c只，再摸第二次，这样下去一共摸了n次，问前面的 $n_{1}$次出现黑球，后面的 $n_{2} = n-n_{1}$次出现红球的概率是多少？

问题解答

用 $A_{1}$表示第一次摸出黑球这一事件，…， $A_{n_{1}}$表示第次摸出黑球， $A_{n_{1}+1}$表示第 $n_{1}+1$次摸出红球，…， $A_{n}$表示第n次摸出红球，则

P( $A_{1}$)= $\frac{b}{b+r}$ ,P( $A_{2}|A_{1}$)= $\frac{b+c}{b+r+c}$

P( $A_{3}|A_{1}A_{2}$)= $\frac{b+2c}{b+r+2c}$,…

P( $A_{n_{1}}|A_{1}...A_{n_{1}-1}$)= $\frac{b+(n_{1}-1)c}{b+r+(n_{1}-1)c}$

P( $A_{n_{1}+1}|A_{1}...A_{n_{1}}$)= $\frac{r}{b+r+n_{1}c}$

P( $A_{n_{1}+2}|A_{1}...A_{n_{1}+1}$)= $\frac{r+c}{b+r+(n_{1}+1)c}$,…

P( $A_{n}|A_{1}..A_{n-1}$)= $\frac{r+(n_{2}-1)c}{b+r+(n-1)c}$

因此

P( $A_{1}A_{2}...A_{n}$)= $\frac{b}{b+r}\cdot\frac{b+c}{b+r+c}\cdot\frac{b+2c}{b+r+2c}...\frac{b+(n_{1}-1)c}{b+r+(n_{1}-1)c}\cdot\frac{r}{b+r+n_{1}c}\cdot\frac{r+c}{b+r+(n_{1}+1)c}...\frac{r+(n_{2}-1)c}{b+r+(n-1)c}$

最后的答案只与黑球，红球出现的次数有关，而与出现的顺序无关。