回溯——N皇后问题

1.问题分析

在n X n的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之同一行，同一列，同一写线上的棋子。现在n X n的棋盘上放置n个皇后，使彼此不受攻击。

如图所示，我们要在i行j列放置一个皇后，那么第i行的其他位置（同行），j列其他位置（同列），同一写线上的其他为止吗，都不能放置皇后。

条件是这么要求的，但是我们也不能杂乱无章的尝试每个为止，我们可以以行为主导：

• 在第一行第一列放置一个皇后。
• 在第二行放置第二个皇后，第二个皇后的位置不能跟第一个皇后同一行同一列同一条写线上·，这里不用再判断同行，因为这里本来就不同行。
• 第三行……
• 第四行……
• 以此类推。

2.算法设计

（1）定义问题i解空间。

（2）解空间的组织结构：是一颗m叉树。

（3）搜索空间

约束条件：在第t行放置第t个皇后时，第t个皇后的位置不能和前t-1个皇后同列，同斜线。第i个皇后和第j个皇后不同列，即 xi !=xj，并且不同斜线：|i-j| ！=| xi - xj |。

搜索过程：从根开始，以深度优先搜索的方式进行搜索。根结点是活结点，并且是当前的扩展结点。在搜索过程中，当前的扩展结点沿纵深方向移向一个新结点，判断该结点是否满足约束条件。如果满足，该新结点成为活结点，并且成为当前的活结点，继续向下搜索。如果不满足，换到新的结点的兄弟结点继续搜索。如果新结点没有兄弟结点，或者兄弟结点已经全部搜索完毕，则扩展结点成为死结点，搜索回溯到其父结点处继续进行。搜索过程直到找到问题的根结点变成死结点为止。

3.源代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=111;
int n;
int x[N];
int countn;

bool OK(int t)
{
    bool ok=true;
    for(int j=1;j<t;j++)
    {
        if(x[t]==x[j] || (t-j) ==fabs(x[t]-x[j]) )//约束条件
        {
           ok=false;
           break;
        }
    }
    return ok;
}

void backtrack(int t)
{
    if(t>n)
    {
        countn++;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            cout << x[i] << "   ";
        }
        cout << endl;
        cout << "——————" << endl;
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            x[t]=i;
            if(OK(t))
            {
                backtrack(t+1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cout << "请输入皇后的个数" << endl;
    cin >> n;
    countn=0;
    backtrack(1);
    cout << "答案的个数是："<< countn << endl;
    return 0;
}

4.测试结果