数理逻辑—范式

简单析取式与简单合取式

定义：
仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式称为简单析取式。仅由有限个命题变项或其否定构成的合取式称为简单合取式。

例如：
$p$、 $\lnot p$、 $p\lor q$、 $p\lor\lnot q$、 $\lnot p\lor q\lor r$等都是简单析取式；
$p$、 $\lnot p$、 $p\land q$、 $p\land\lnot q$、 $\lnot p\land q\land r$等都是简单合取式。

由以上定义可以得到两点结论：

1. 一个简单析取式是重言式，当且仅当它同时含有一个命题变项及其否定；
2. 一个简单合取式是矛盾式，当且仅当它同时含有一个命题变项及其否定。

例如：
简单析取式 $p\lor \lnot q\lor q$是重言式；简单合取式 $p\land\lnot q\land q$是矛盾式。

析取范式与合取范式

定义：
仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式；仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

例如：
$p\lor q\lor\lnot r$、 $\lnot p\lor\lnot q\lor r$、 $(p_1\land\lnot q_1)\lor(\lnot p_1\land p_2)\lor(p_1\land p_2\land p_3)$是析取范式；
$p\land q\land\lnot r$、 $\lnot p\land\lnot q\land r$、 $(p_1\lor\lnot q_1)\land(\lnot p_1\lor p_2)\land(p_1\lor p_2\lor p_3)$是合取范式；

由以上定义可以得到两点结论：

1. 一个析取范式是矛盾式，当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式；
2. 一个合取范式是重言式，当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。

范式存在定理与范式求解

范式存在定理：
任一命题公式都存在着不唯一的与之等值的析取范式和合取范式。

根据范式存在定理，可知任一命题公式都能通过等值演算求出与之等值的析取范式与合取范式。步骤如下：

1. 消去 $\to$和 $\leftrightarrow$：
   $p\to q \iff\lnot p\lor q$
   $p\leftrightarrow q \iff (\lnot p\lor q)\land(p\lor \lnot q)$
2. 否定号的消去或内移：
   $\lnot\lnot p\iff q$
   $\lnot(p\land q)\iff\lnot p\lor\lnot q$
   $\lnot(p\lor q)\iff\lnot p\land \lnot q$
3. 使用分配率。对析取范式应使用 $\land$对 $\lor$的分配率；对合取范式应使用 $\lor$对 $\land$的分配率。

举例：求 $((p\lor q)\to r)\to p$的合取范式和析取范式
解： $\begin{aligned} ((p\lor q)\to r)\to p& = \lnot(\lnot(p\lor q)\lor r)\lor p & \text{(消去$\to$)}\\ & = ((\lnot\lnot p\lor\lnot\lnot q)\land \lnot r)\lor p& \text{($\lnot$内移)}\\ & = ((p\lor q)\land \lnot r)\lor p & \text{($\lnot$消去)}\\ & = (p\lor q)\land(\lnot r\lor p) & \text{($\lor$对$\land$分配率，得合取范式)}\\ & = (p\land\lnot r)\lor(q\land\lnot r)\lor p & \text{($\land$对$\lor$分配率，得析取范式)} \end{aligned}$

主析取范式与主合取范式

定义：
如果公式 $A$的析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为主析取范式；如果公式 $A$的合取范式中的简单析取式全是极大项，则称该合取范式为主合取范式。

极小项与极大项

极小项定义：
在有 $n$个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项及其否定有且仅有其中一个出现一次，则称这样的简单合取式为极小项。

通常极小项的命题变项用1表示，命题变项的否定用0表示，这就组成了一段二进制码，按二进制码的大小进行排序后用小写字母 $m(minimum)$加从0开始递增的脚标命名，例: $m_0$、 $m_1$。

例如：2个命题变项 $p$、 $q$可形成4个极小项；3个命题变项 $r$、 $s$、 $t$可形成8个极小项

极小项	二进制码	命名		极小项	二进制码	命名
$\lnot p \land \lnot q$	00	$m_0$		$\lnot r\land \lnot s\land \lnot t$	000	$m_0$
$\lnot p\land q$	01	$m_1$		$\lnot r\land \lnot s\land t$	001	$m_1$
$p \land \lnot q$	10	$m_2$		$\lnot r\land s\land \lnot t$	010	$m_2$
$p\land q$	11	$m_3$		$\lnot r\land s\land t$	011	$m_3$
				$r\land \lnot s\land \lnot t$	100	$m_4$
				$r\land \lnot s\land t$	101	$m_5$
				$r\land s\land \lnot t$	110	$m_6$
				$r\land s\land t$	111	$m_7$

极大项定义：
在有 $n$个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项及其否定有且仅有其中一个出现一次，则称这样的简单析取式为极大项。

通常极大项的命题变项用0表示，命题变项的否定用1表示，这就组成了一段二进制码，按二进制码的大小进行排序后用大写字母 $m(maximum)$加从0开始递增的脚标命名，例: $M_0$、 $M_1$。

例如：2个命题变项 $p$、 $q$可形成4个极大项；3个命题变项 $r$、 $s$、 $t$可形成8个极大项

极小项	二进制码	命名		极小项	二进制码	命名
$p \land q$	00	$M_0$		$r\land s\land t$	000	$M_0$
$p\land \lnot q$	01	$M_1$		$r\land s\land \lnot t$	001	$M_1$
$\lnot p \land q$	10	$M_2$		$r\land \lnot s\land t$	010	$M_2$
$\lnot p\land\lnot q$	11	$M_3$		$r\land \lnot s\land\lnot t$	011	$M_3$
				$\lnot r\land s\land t$	100	$M_4$
				$\lnot r\land s\land \lnot t$	101	$M_5$
				$\lnot r\land \lnot s\land t$	110	$M_6$
				$\lnot r\land \lnot s\land \lnot t$	111	$M_7$

主范式存在定理：
任何命题公式都有唯一的主析取范式或主合取范式。

求解主范式的步骤：

1. 求出析取范式或合取范式
2. 扩展命题变项，将简单合取式(简单析取式)扩展为极小项(极大项)形式
3. 合并重复项
4. 求余项，求出主析取范式后余下的项就是主合取范式的组成项，求出主合取范式后余下的项就是主析取范式的组成项

例如：求 $((p\lor q)\to r)\to p$的主析取范式与主合取范式主范式
解： $\begin{aligned} ((p\lor q)\to r)\to p & = (p\land\lnot r)\lor(q\land\lnot r)\lor p & \text{求出析取范式}\\ & = (p\land(\lnot q \lor q)\land\lnot r)\lor((\lnot p \lor p)\land q\land\lnot r)\lor (p\land (\lnot q \lor q)\land (\lnot r \lor r))\\ & = (p\land\lnot q\land\lnot r)\lor(p\land q\land\lnot r)\lor(\lnot p \land q\land\lnot r)\lor(p \land q\land\lnot r)\lor\\&(p\land \lnot q\land \lnot r)\lor(p\land \lnot q\land r)\lor(p\land q\land \lnot r)\lor(p\land q\land r)& \text{扩展命题变项}\\ & = m_4\lor m_6\lor m_2\lor m_6\lor m_4\lor m_5\lor m_6\lor m_7\\ & = m_2\lor m_4\lor m_5\lor m_6\lor m_7& \text{合并重复项，得出主析取范式}\\ & = M_0\land M_1\land M_3& \text{求余项，得出主合取范式}\\ \end{aligned}$