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Description
给出平面上n个点，其中1号点是可以移动的，但是移动的范围不能改变任意三个点所成的角的状态（
）。
求可移动的范围。
Solution
画一个图可以感受出来，实际上1号点移动的范围就是不能越过其他点的任意一对点的连线。
这样有一个很直观的做法就是枚举两个点，加入它们连线向1号点方向的半平面，然后做个半平面交即可，时间复杂度是
的
这显然不能接受。
我们将所有的点按照极角序排序，可以发现实际上真正有用的半平面是非常有限的。
观察到只有极角序相邻的点的连线，以及每个点关于1号点的对称点 的极角序相邻的两个点与这个点的连线是有用的
显然这些半平面的个数是
的，做个半平面交就好了。
时间复杂度
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 600005
using namespace std;
map<int,bool> h[N];
namespace geometry
{
const double eps=1e-10;
const double pi=acos(-1);
struct node
{
double x,y;
node(double _x=0,double _y=0){x=_x,y=_y;}
};
node operator +(node x,node y) {return node(x.x+y.x,x.y+y.y);}
node operator -(node x,node y) {return node(x.x-y.x,x.y-y.y);}
node operator *(double x,node y) {return node(x*y.x,x*y.y);}
double crs(node x,node y) {return x.x*y.y-x.y*y.x;}
double ang(node x)
{
double v=atan2(x.y,x.x);
if(v<0) v+=2*pi;
return v;
}
struct line
{
node p,v;
line(){};
line(node _p,node _v) {p=_p,v=_v;}
};
node dot(line x,line y) {return y.p+(crs(x.v,x.p-y.p)/crs(x.v,y.v))*y.v;}
bool inside(line x,node y)
{
return (crs(x.v,y-x.p)>eps);
}
bool in(line x,node y)
{
return abs(crs(x.v,y-x.p)<=eps);
}
}
using namespace geometry;
int t,n,n1,n2;
node a[N],ab[N];
line d[4*N],db[4*N];
struct px
{
double v;
int p;
friend bool operator <(px x,px y) {return x.v<y.v;}
}u2[N];
int pre(int x) {return (x==2)?n:x-1;}
int suf(int x) {return (x==n)?2:x+1;}
bool cmp2(px x,px y)
{
return(x.v+eps<y.v||(abs(x.v-y.v)<=eps&&inside(d[y.p],d[x.p].p)));
}
double get()
{
fo(i,1,n1)
{
if(in(d[i],node(0,0))) return 0;
u2[i]=(px){ang(d[i].v),i};
db[i]=d[i];
}
static int dq[4*N],d2[4*N];
n2=0;
sort(u2+1,u2+n1+1,cmp2);
fo(i,1,n1) d[i]=db[u2[i].p];
fo(i,1,n1) if(i==1||fabs(ang(d[i].v)-ang(d[i-1].v))>eps) d2[++n2]=i;
int l=1,r=2;dq[1]=d2[1],dq[2]=d2[2];
fo(i1,3,n2)
{
int i=d2[i1];
while(l<r&&!inside(d[i],dot(d[dq[r]],d[dq[r-1]]))) r--;
while(l<r&&!inside(d[i],dot(d[dq[l]],d[dq[l+1]]))) l++;
dq[++r]=i;
}
while(l+2<r&&!inside(d[dq[l]],dot(d[dq[r]],d[dq[r-1]]))) r--;
double s=0;
fo(i,l,r-2) s+=crs(dot(d[dq[i]],d[dq[i+1]]),dot(d[dq[i+1]],d[dq[i+2]]));
s+=crs(dot(d[dq[r-1]],d[dq[r]]),dot(d[dq[r]],d[dq[l]]));
s+=crs(dot(d[dq[r]],d[dq[l]]),dot(d[dq[l]],d[dq[l+1]]));
return s/2;
}
int main()
{
freopen("everdream.in","r",stdin);
freopen("everdream.out","w",stdout);
int tp;
cin>>tp;
cin>>t;
int cnt=0;
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
n1=0;
fo(i,1,n) h[i].clear();
fo(i,1,n)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
a[i]=(i==1)?node(x,y):node(x,y)-a[1];
ab[i]=a[i];
u2[i]=(px){ang(a[i]),i};
}
//a[++n]=node(1e6,-1e6),a[++n]=node(1e6,1e6),a[++n]=node(-1e6,1e6),a[++n]=node(-1e6,-1e6);
sort(u2+2,u2+n+1);
fo(i,2,n) a[i]=ab[u2[i].p];
for(int i=2,j=3;i<=n;i++)
{
node w=(-1)*a[i];
while(crs(a[j],w)>0) j=suf(j);
if(pre(j)!=i&&!h[i][pre(j)])
{
h[i][pre(j)]=h[pre(j)][i]=1;
line w=line(a[i],a[pre(j)]-a[i]);
d[++n1]=(inside(w,node(0,0)))?w:line(a[pre(j)],a[i]-a[pre(j)]);
}
if(j!=i&&!h[i][j])
{
h[i][j]=h[j][i]=1;
line w=line(a[j],a[i]-a[j]);
d[++n1]=(inside(w,node(0,0)))?w:line(a[i],a[j]-a[i]);
}
if(j==i+1) j=suf(j);
if(!h[i][suf(i)])
{
h[i][suf(i)]=h[suf(i)][i]=1;
line w1=line(a[i],a[suf(i)]-a[i]);
d[++n1]=(inside(w1,node(0,0)))?w1:line(a[suf(i)],a[i]-a[suf(i)]);
}
}
d[++n1]=line(node(1e6,-1e6)-a[1],node(0,1e6));//右边界
d[++n1]=line(node(1e6,1e6)-a[1],node(-1e6,0));//上边界
d[++n1]=line(node(-1e6,1e6)-a[1],node(0,-1e6));//左边界
d[++n1]=line(node(-1e6,-1e6)-a[1],node(1e6,0));//下边界
printf("%.10lf\n",get());
}
}