$a_n>0$，$a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2$，求证：
(1) $a_{n+1}<a_n<2(n\in \mathbb{N}^*)$；
(2) $a_n>1(n\in \mathbb{N}^*)$.
证明：(2) 由 (1) 知 $a_n$ 单调递减有下界，则 $a_n$ 极限存在，设该极限为 $a$，
则 $a+\dfrac{1}{a}\leqslant 2$，即 $(a-1)^2\leqslant 0$，所以 $a=1$.
假设存在 $N$，使得 $a_N\leqslant 1$，
则 $a_{N+k}\leqslant a_{N+1}<1$，其中 $k\in \mathbb{N}^*$.
令 $k\to\infty$，得 $a\leqslant a_{N+1}<1$，
这与 $a=1$ 矛盾.
所以 $a_n>1$，对所有 $n\in \mathbb{N}^*$ 都成立.