[CF1101D]Trucks and Cities：分治优化决策单调性

分析

好像是有一个叫这个名字的算法，链接。

令f[i][j][k]表示一辆每公里耗油量为\(1\)的货车从\(i\)到\(j\)中途加\(k\)次油最小的油箱容量。枚举所有的起点和中途加油的次数，这样就固定了两维，显然有DP方程：

\[ f[i][j][k]= \min_{p=i}^{j} ( \max (f[i][p][k-1],a[j]-a[p])) \]

根据生活经验题意显然这个DP具有决策单调性，可以用分治优化一下。

具体来说就是每次大力求出\(mid=(l+r)/2\)的决策点，然后分治就好了，显然分治左区间的决策点一定不在\(mid\)的决策点（这里一定要注意是\(mid\)的决策点而不是\(mid\)）的右边，分治右区间的决策点一定不在\(mid\)的决策点的左边。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rin(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define irin(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
#define trav(i,a) for(register int i=head[a];i;i=e[i].nxt)
typedef long long LL;
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

const int MAXN=405;
int n,m;
int a[MAXN],f[MAXN][MAXN][MAXN];

void solve(int bg,int cnt,int l,int r,int ql,int qr){
    if(l>r) return;
    int mid=((l+r)>>1),opt=0,temp=0;
    rin(i,ql,std::min(qr,mid))
        if(!opt||std::max(a[mid]-a[i],f[bg][i][cnt-1])<temp)
            temp=std::max(a[mid]-a[i],f[bg][i][cnt-1]),opt=i;
    f[bg][mid][cnt]=temp;
    solve(bg,cnt,l,mid-1,ql,opt);
    solve(bg,cnt,mid+1,r,opt,qr);
}

int main(){
    n=read(),m=read();
    rin(i,1,n) a[i]=read();
    rin(i,1,n) rin(j,i,n) f[i][j][0]=a[j]-a[i];
    rin(i,1,n) rin(j,1,n) solve(i,j,i+1,n,i+1,n);
    LL ans=0;
    rin(i,1,m){
        int s=read(),t=read(),c=read(),r=read();
        ans=std::max(ans,1ll*f[s][t][r]*c);
    }
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}