矩阵论笔记(一) - 线性空间、线性子空间、矩阵的值域和核空间

向量 $x$ 在基 $x_1,x_2,...,x_n$ 下的矩阵表示为：
$x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}$

1.5 基变换与坐标变换

1.5.1 基变换：

设 $x_1,x_2,...,x_n$ 是空间 $V^n$ 的旧基， $y_1,y_2,...,y_n$ 是新基。新基可以用旧基表示为
$\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_nliangge \end{bmatrix} \cdot C_{n×n}$
其中，矩阵 $C_{n×n}$ 为 (旧基到新基的) 过渡矩阵。

1.5.2 坐标变换：

向量 $x$ 在旧基 $x_1,x_2,...,x_n$ 下的矩阵表示：
$x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} \tag{1}$
其中， $[a_1, a_2, ..., a_n]^T$ 为 $x$ 在基 $x_1,x_2,...,x_n$ 下的坐标。

向量 $x$ 在新基 $y_1,y_2,...,y_n$ 下的矩阵表示：
$x=\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix} \tag{2}$
其中， $[b_1, b_2, ..., b_n]^T$ 为 $x$ 在基 $y_1,y_2,...,y_n$ 下的坐标。
由式(1)=式(2)，得
$\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix}=C^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}$
称作 向量 $x$ 在基变换C下的坐标变换公式。

个人理解：

对线性空间作变换，也就是对线性空间的基做变换。（这是因为，线性空间中的任一向量都能由该空间的一组基线性表示，即一组基可决定一个空间。但是，一个空间可对应不同的多组基）

线性空间中的一个向量本身是不变的，但对基作变换后，基改变，从而基下的坐标改变，称为坐标变换，即，同一向量在不同基下的表示是不同的。

2. 线性子空间

2.1 定义

$V_1$ 是线性空间 $V$ 的非空子集和， $V_1$ 中满足数乘封闭和加法封闭，则称 $V_1$ 是 $V$ 的线性子空间或子空间。

个人理解：三维空间中的一个过原点的二维平面，或一条过原点的直线，都是该三维空间中的线性子空间。这两个子空间也满足数乘封闭和加法封闭。

2.2 性质

线性子空间也是线性空间。（定义中满足数乘、加法封闭，即线性子空间首先要是线性的）
非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身以及零空间he。
一个线性空间的子空间，其维数小于等于线性空间的维数（显然）。

延伸：n元齐次线性方程组的解空间 $W$ 是 $n$ 维向量空间 $V^n$ 的一个子空间。方程组的基础解系就是解空间的基。

2.3 子空间的运算

2.3.1 和空间

$V_1 +V_2 = \left \{ x_1 + x_2 \ | \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 \right \}$

2.3.2 交空间

$V_1 \cap V_2 = \left \{ a \ | \ a \in V_1 且 a \in V_2 \right \}$

3. 矩阵的值域、核空间

3.1 向量张成的空间

$x_1,x_2,...,x_n$ 张成的空间，记为
$V_1=L(x_1, x_2, ..., x_n)=\left \{ k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \right \}$ 其中 $k_i$ 为常数。

个人理解：类似以向量组为基所生成的空间。

3.2 矩阵的值域

矩阵 $A\in C^{m×n}$ 的 $n$ 个列向量为 $a_1, a_2, ..., a_n$ ，则矩阵A的值域为 $R(A)=L(a_1, a_2, ..., a_n)=\left \{ y\ | \ y=Ax\right \}$

个人理解：矩阵的值域是 矩阵中的所有列向量所张成的空间。
若把 $A$ 看作一种线性变换，那么矩阵的值域 $y=Ax$ 为线性空间中的原向量 $x$ 经线性变换后所得到的象。

3.3 矩阵的核空间

$N(A) = \left \{ x\ | \ Ax=0 \right \}$
核空间也叫零空间，零空间的维数为零度，记作 $n(A)$ 。

个人理解：使 $Ax=0$ 成立的 $x$ 。
若把 $A$ 看作一种线性变换，那么矩阵的核是经过线性变换后变为零向量的向量（原象）。