QR方法

QR方法是做什么的？它可以求一般矩阵的全部特征值和特征向量。为了使用这种方法我们首先要知道一些理论基础。

Householder变换

（课本上的话虽然严谨，但是枯燥。总是感觉大学课本上的东西是给会的人看的，这里我用自己语言聊一下）什么叫Householder变换呢？就是在1932年，Householder这个人发现了一种变换。他给出了这样的公式：

$$H = I - 2 \mathcal{w}\mathcal{w^T}$$
(1)H是对称矩阵。直接写出来就可以看出来了。
（2）H是正交矩阵， $\boldsymbol{H}\boldsymbol{H^T}$,可以直接证出来。
（3） $\boldsymbol{H^2} = 1$, $\mathcal{det}\boldsymbol{H} = -1$
(4) 这个性质是我们直接用的： $\forall\mathcal{x,y} \in \mathcal{R^n},\mathcal{x\ne y}，且 \lVert x\lVert_2 = \lVert y\lVert_2$,存在反射矩阵 $\boldsymbol{H}$,使得 $\mathcal{y = \boldsymbol{H}x}$,这个时候的 $\mathcal{w} = (x-y)/\lVert x - y\lVert$.
OK有了这个性质就可以做我们想做的事了。
你看求A的所有特征值,我们最容易想到的就是把A变成上对角矩阵，这样我们就可以直接看出来，对角矩阵上的对角元素就是特征值。怎么变这里就是用了上面我BB的理论。哎，以为A是矩阵，Householder变换是针对向量的，所以这里就用的约化定理（不想写不写了。）再写一个比较直接的式子。
$$\vec{x}= \begin{vmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ x_r\\ x_r+1\\ .\\ .\\ x_n \end{vmatrix} \Longrightarrow H\vec{x}= \begin{vmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ \pm\sqrt{(\sum_{j=r}^N x_j^2)}\\ 0\\ .\\ .\\ 0 \end{vmatrix}$$
QR方法的迭代格式
$$\begin{cases} A_k = Q_kR_k \\ A_k +1= R_kQ_k \end{cases}$$

好了上代码：

function [Q,R] = Household(A)
    [m,~] = size(A);
    Q = eye(m);
    for i = 1:m-1
        y = zeros(m,1);
        I = eye(m);
        y(1:i,1) = A(1:i,i);
        y(i,1) = -sign(A(i,i))*(sum(A(i:end,i).^2)^(1/2));
        x = A(:,i);
        u = x - y;
        w = u/norm(u,2);
        H = I - 2*w*w';
        A = H*A;
        Q = H*Q;
    end
    R = A;
    Q = Q';
end

function demo_five
A = [5 -3 2;6 -4 4;4 -4 5]; 
for i =1:100   %这里表示迭代次数。
[Q,R] = Household(A);
A = R*Q;
end
diag(A)
end

算法改进
为了加快收敛速度，我们先利用Householder变换把A变换为Hessenberg矩阵（矩阵的下次对角线下方元素均为零），
代码：

function A_hessenberg = Hessenberg(A)
    [m,~] = size(A);
    for i=1:m-2
        x = A(:,i);
        y = zeros(m,1);
        y(1:i,1) = A(1:i,i);
        y(i+1,1) = -sign(A(i+1,i))*(sum(A(i+1:end,i).^2)^(1/2));
        w = (x-y)/norm(x - y);
        H = eye(m) - 2*(w*w');
        A = H*A*H;
    end
    A_hessenberg = A;
end

利用旋转G求出Q，（这里的作用是：把Hessenberg矩阵的下次对角线全部化为0这样就求出Q了）.

function Q = Givens(A)
    [m,~] = size(A);
    Q = eye(m);
    for i = 1:m-1
        R = eye(m);
        r = sqrt(A(i,i)^2 + A(i+1,i)^2);  
        c = A(i,i)/r;
        s = A(i+1,i)/r;
        R(i,i) = c;
        R(i+1,i+1) = c;
        R(i,i+1) = s;
        R(i+1,i) = -s;
        A = R*A;
        Q = Q*R';
    end
end

主函数

function [lamda,vector] = demo_five_1
A = [5 -3 2;6 -4 4;4 -4 5]; 
A_h = Hessenberg(A);
for i =1:30
    Q = Givens(A_h);
    A_h = Q'* A_h *Q;
end
lamda = diag(A_h);
vector = fan_mi_fa(A,lamda);
end

求特征向量这里我用的是反幂法。（这个方法的重点是理解：$(A - p*I)$的迭代）

function vector = fan_mi_fa(A,lamda)
[m,~] = size(A);
vector = ones(m,m);
for i = 1:m
    p = lamda(i);
    x = ones(m,1);
     for j = 1:50
         if max(abs(x)) == max(x)
             max_x = max(abs(x));
         else
             max_x = -max(abs(x));
         end
        y = x / max_x;
        x = inv( A - p*eye(m) ) * y;
     end
    vector(:,i) = y;
end
end

好了写完了，哎其实中间还有好多过程没有搞懂（希望以后搞懂了，继续添加），但是代码是自己写的绝对靠谱。
我写博客的目的有两个：
（1）把自己的学习资料保存一下，以后用到的话方便查询，之前写在纸上的资料，大多数都被自己搞丢了。
（2）希望自己有所收获，提升。如果能交到朋友更好了。

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