C++代码实现牛顿迭代法求非线性方程的解与一个数的立方根

 

牛顿迭代法

牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程  线性化的一种近似方法。把  在点   的某邻域范围内展开成泰勒级 
取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即
以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：

已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

牛顿法解决非线性方程的解

假设我们求解的方程为：，则

可知  

#include<iostream>
#include<math.h>

using namespace std;


float fun(float x)
{
    if (fabs(x*x*x - 3*x*x + 3*x - 1) < 0.000001)
        return x;
    else
        {
            return fun((2 * x  - 3 /x + 1 /(x*x)) / 3 + 1);
        }
}
int main()
{
    float a = 2.0;//随机预测方程的值
    cout <<"计算出的方程的根为："<< fun(a) << endl;
}

输出结果为： 

若想知道经过多少次的迭代才能计算出方程的根，可输入跌代次数即可。 

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double fun1(double x)
{
    return 1*x*x*x-3*x*x+3*x-1; //原函数fun1=(x-1)^3
}

double fun2(double x)
{
    return 3*x*x-6*x+3; //原函数的导数fun2
}

int main()
{
    double f1,f2,x,d;
    int count = 0;  //统计迭代的次数
    x = 100;    //随机赋予的方程的解
    do {
        f1 = fun1(x);   //方程的值 
        f2 = fun2(x);   //方程的导数 
        d = f1/f2; 
        x -= d; //更新方程的值 
        count ++;
        cout<<"第"<<count<<"次迭代方程的值为: "<<fun1(x);
        cout<<"     当前的近似根为: "<<x<<endl;
    } while(fabs(d) > 1e-5);
    cout<<"总迭代次数:"<<count<<endl;
    cout<<"最终的近似根为:"<<x;
    return 0;
}

输出结果如下：

牛顿法求解一个数的立方根

首先：不妨设  , 是求解的立方根的值， 即为 我们实际要求的立方根。

其次：根据牛顿迭代法 ，得到 ，则  .

#include<iostream>
#include<math.h>

using namespace std;


float fun(float x, float y)
{
    if (fabs(x*x*x - y) < 0.000001)
        return x;
    else
        {
            return fun((2 * x + y / x / x ) / 3, y);
        }
}
int main()
{
    float a, b;
    cin >> a >> b;//a为猜测的立方根，b为实际所要求的立方根。
    cout << fun(a, b) << endl;
}

代码运行结果为：