HDU 6360 Kaleidoscope（polya+多重背包）

Description

用 $n$ 种颜色给下图中的规则多面体染色，要求第 $i$ 种颜色出现的次数不少于 $c_i$ ，旋转相同视作同一种方案，问染色方案数

C722-1011-2

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例首先输入两个整数 $n,p$ 表示颜色数量和模数，之后输入 $n$ 个整数 $c_i$ 表示对每种颜色使用数量的限制

$(1\le T\le 1000,1\le n\le 60,1\le p<2^{30},0\le c_i\le 60)$

Output

输出染色方案数，结果模 $p$

Sample Input

5
2 1000000007
0 0
2 1000000007
1 0
2 1000000007
0 2
2 1000000007
1 1
5 1000000007
1 1 1 1 1

Sample Output

544393230
544393229
544393228
544393228
905148476

Solution

首先考虑该规则体的旋转变换群，显然对称轴只会穿过十二个中心点（五个菱形的公共点）、或二十个尖点（三个菱形的公共点）、或三十个中点（四个菱形的公共点）

1.对于穿过两个中心点的六条对称轴，可以旋转 $k\cdot \frac{\pi}{5},k=1,2,3,4$ ，此时每五个菱形颜色需要一样，共 $24$ 个变换

2.对于穿过两个尖点的十条对称轴，可以旋转 $k\cdot \frac{\pi}{3},k=1,2$ ，此时每三个菱形颜色需要一样，共 $20$ 个变换

3.对于穿过两个中点的十五条对称轴，只能旋转 $\frac{\pi}{2}$ ，此时每两个菱形颜色需要一样，共 $15$ 个变换

4.不动，此时每个菱形颜色独立，共 $1$ 个变换

由 $Polya$ 定义，染色方案数即为 $\frac{1}{60}(dp(1)+15\cdot dp(2)+20\cdot dp(3)+24\cdot dp(5))$

其中 $dp(i)$ 表示在每种颜色数量满足条件的前提下，使得每 $i$ 个菱形颜色一样的染色方案数，也即在第 $j$ 种颜色数量不小于 $\lceil\frac{c_j}{i}\rceil$ 前提下给 $\frac{60}{i}$ 个块染色的方案数，做一个多重背包即可，注意到在运算过程中的模数为 $60m$ ，计算完括号内的结果后除以 $60$ 即为答案，此时由于模数超过 $int$ ，乘法需要注意不要爆 $long\ long$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
int T,n,m,d[]={1,2,3,5},num[]={1,15,20,24},sum[5],c[61];
ll mod,C[61][61],dp[61]; 
ll add(ll x,ll y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
ll mul(ll x,ll y)
{
    return (x*y-(ll)(x/(ld)mod*y+1e-3)*mod+mod)%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        mod=60ll*m;
        for(int i=0;i<=60;i++)
        {
            C[i][0]=C[i][i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
        }
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&c[i]);
            for(int j=0;j<4;j++)sum[j]+=(c[i]+d[j]-1)/d[j];
        }
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            int nn=60/d[i];
            if(sum[i]>nn)continue;
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            dp[0]=1;
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                int cnt=(c[j]+d[i]-1)/d[i];
                for(int x=nn;x>=0;x--)
                {
                    ll res=0;
                    for(int y=cnt;y<=x;y++)
                        res=add(res,mul(C[x][y],dp[x-y]));
                    dp[x]=res;
                }
            }
            ans=add(ans,mul(dp[nn],num[i]));
        }
        ans/=60;
        printf("%d\n",(int)ans);
    }
    return 0;
}

HDU 6360 Kaleidoscope（polya+多重背包）

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