背包问题2018-08-07

今天教练没来，进集训队的大哥哥讲题

01背包问题：采药：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1048

这道题虽然名为采药，但完全是一道简单背包题，只要套01背包的模板就行了。
题目简述：假设有一个背包，其容积为V，同时，我们有n个物品，价值分别为Ai，同时，它的体积为Bi，现在我们想要让背包内的东西价值最高，同时又不能让背包涨坏，我们该怎么做呢？？？

我们可以用贪心的方法来解，但老师讲的是另一种方法——DP,时间复杂度为O(nV)。

思路：我们先设当前背包内容积为j，此时进行到i位了，在假设前i-1个东西已经选好如何摆放，可以得出F(i)(j)当前有两种选择——选或不选，当不选时，则当前状态为F(i-1)(j),若选，总价值加上当前物品的价值，背包内的体积减去这件物品的体积，所以，当前状态则为F(i-1)(j-Bi)+A(i)。

所以，得出状态转移方程：F(i)(j)=max{F(i-1)(j-Bi)+Ai,F(i-1)(j)};

附上代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10000+10;
int a[maxn],v[maxn],f[maxn][maxn];
int n,m,t;
int main(){
    cin>>t>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        cin>>v[i]>>a[i]; 
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=t;j++)
           if(j<v[i])
              f[i][j]=f[i-1][j];
           else
              f[i][j]=max(f[i-1][j-v[i]]+a[i],f[i-1][j]);
    cout<<f[m][t];
    return 0;
}

无限背包：第二道题：疯狂的采药：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1616

这一道题是上一道题的加强版，思路和原先一样，不过，你得考虑能不能选择某一个东西两遍！！！这样，转换方程就得有所改变：F(i)(j)=max{F(i)(j-Bi)+Ai,F(i-1)(j)}

附上AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
int a[maxn],v[maxn],f[maxn];
int n,m,t;
int main(){
    cin>>t>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        cin>>v[i]>>a[i]; 
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=t;j++)
           if(j<v[i])
              f[j]=f[j];
           else
              f[j]=max(f[j-v[i]]+a[i],f[j]);
    cout<<f[t];
    return 0;
}