关于微信红包游戏的策略分析

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在刚过去的寒假里，碰到朋友结婚，大家十几个老同学聚到一起。这天，大家一伙儿围在火炉旁边，各个眼睛盯着手机屏幕抢红包，玩的不亦乐乎。作为一名“资深”赌博游戏爱好者我打听了一下规则后，想发现一下其中的奥秘，然而思来想去并没有发现什么bug，如今上课无聊偶然想到编一个小程序来模拟一下，看看究竟有没有什么致胜的秘诀。成果如下文。
游戏的规则是这样的：游戏分为发红包者和抢红包者，发红包的人需要在红包上面写30/10/7，这样的数字，第一个数字表示发的红包金额30块，第二个数字表示发的红包的个数10个，第三个数字表示发红包者指定的“辛运数字”。发完红包，就该抢红包了，抢到红包的人如果抢的红包金额小数点后两位数字（微信红包都是保留两位小数点）之和等于或者最后一位数字等于幸运数字（比如2.43，4+3=7；3.98,9+8=17），那么恭喜，他“中奖”了，他需要返给发红包人30块（等于发红包的总金额）。
这个游戏你可以扮演发红包的角色，也可以做抢红包的角色。看了几轮，凭直觉来看，我发现貌似抢红包的人容易赚到钱，发红包的人容易输，为了验证我们先进行一番简单的运算：
假设红包上面的数字为M/N/P；红包都被抢完且自己没有抢。
游戏其实还有如下规定，红包的个数N=10 or 5,如果N=10，P只能写一个数字（0-9里面选），如果N=5，P就可以选两个P1，P2（0-9里面选两个，不要问我能不能选两个一样的数字 （=，=） ）.现在我们站在抢红包的位置来计算其期望收益。

N=10
$x$	$M/10$	$-M$
$p$	$9/10$	$1/10$

计算N=10时其期望收益为

$$E(x)=\dfrac{M}{10}*\dfrac{9}{10}+(-M)*\dfrac{1}{10}=-\dfrac{M}{100}$$
同理计算N=5时；

N=5
$x$	$M/5$	$-M$
$p$	$8/10$	$2/10$

$$E(x)=\dfrac{M}{5}*\dfrac{8}{10}+(-M)*\dfrac{2}{10}=-\dfrac{M}{25}$$
上式结果都为负数，与我们的直觉恰恰相反，也就是说抢红包的人是容易输钱的。那么我们站在发红包的人的角度来计算一下其期望收益。

N=10
$y$	$-M$	$kM$ {$k$=1,2…10}
$p$	($\dfrac{9}{10})^{10}$	$\dbinom{10}{k}(\dfrac{9}{10})^{10-k}(\dfrac{1}{10})^{k}$

计算其期望得到

$$E(y)=-M(\dfrac{9}{10})^{10}+\sum_{k=1}^{10}kM\dbinom{10}{k}(\dfrac{9}{10})^{10-k}(\dfrac{1}{10})^{k}$$
用Matlab编程计算得到 $E(y)=0.6513M$

for k=1:10
a(k)=k.*(nchoosek(10,k)*(1/10)^(k)*(9/10)^(10-k));
end
b=sum(a)-(9/10)^10
%  b =0.6513

同理计算N=5时;

N=5
$y$	$-M$	$kM$ {$k$=1,2…5}
$p$	$(\dfrac{8}{10})^{5}$	$\dbinom{5}{k}(\dfrac{8}{10})^{5-k}(\dfrac{2}{10})^{k}$

用Matlab编程计算得到$E(y)=0.6732M$

for k=1:5
b(k)=k.*(nchoosek(5,k)*(2/10)^(k)*(8/10)^(5-k));
end
c=sum(b)-(8/10)^5
%  b =0.6732

由上述分析看出发红包的人的期望收益都是正数，也就是说发红包的人容易赚到钱。
分析到这里我们貌似已经有了结论，But我们学统计的孩子怎么能就此收手呢，趁热打铁，紧接着我就用Matlab编了一个模拟发红包的小程序，为了不引起各位的不适，我就把程序贴在文章的最后了，有兴趣的可以翻翻看看。如果你要用Matlab编写程序，在这里我提醒你几点：
1. 微信红包最小为0.01，且每个红包金额保留两位小数点，并且红包金额之和为M。
2. 你可以生成N个0到1的随机数然后再归一化使其之和等于1，然后将M乘以这些归一化后的随机数来生成N个红包。
3. 如果某次幸运数字是1，而你抽取的红包金额为3.47，那么，虽然4+7=11，有两个1但只算一次，肯定不能让你返还两次。
接下来站在发红包人的角度，你们猜猜哪个”幸运数字”会让你赚更多的钱呢？
让我们看一下吧，我模拟了10000次发100块10份红包的程序，统计了一下各个数字出现的次数，如下：

数字	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
频率	10011	10061	10105	9959	9940	10000	10044	10142	9811	9927
概率	10.01%	10.06%	10.11%	9.96%	9.94%	10.00%	10.04%	10.14%	9.81%	9.93%

然后在模拟10000次100块5份的红包，结果如下：

数字	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
频率	4992	4884	4947	5140	4935	5041	5095	5083	4967	4916
概率	9.98%	9.77%	9.89%	10.28%	9.87%	10.08%	10.19%	10.17%	9.93%	9.83%

可以发现不管发多少份的红包最终数字都是均匀分布的，也就是说并没有什么最佳的策略（捂脸状，好尴尬啊）。
那我们按模拟的情况来计算一下收益情况吧。
如果按上表来算，作为发红包者，我平均每次发100元10份的红包的收益为：

$$\dfrac{1}{10000}\sum_{n=0}^{9}100(f_n-10000)*p_n$$
$f_n$ 表示第 $n$ 个数字的频率， $p_n$ 表示第 $n$ 个数字出现的概率，理论上各个数字出现的概率是相等的即 $p_n=\dfrac{1}{10}$,但实际上 $p_n$为上表中给出的值。（其实也差不了多少） 这么算来理论上发一次100块钱10份的红包收益约为0元，按实际概率计算收益约为0.0083元，几乎是0元。
同理，我们对待每次发100元5份的红包来计算得出以下结论：
理论上发一次100元钱5份的红包收益约为-50元，按实际概率计算收益约为-49.98元。
这个结果是很令我惊讶的，为什么明明发5份的红包平均收益比10份多，但是现在实际模拟来看却是5份的红包赔钱？问题出在哪了？

容我再想想，下一篇博客在回答这个问题。
不说了 想睡觉了。。
还能睡的着么？
玩一局炉石吧。。
恩，好。
程序附上：

function [bb point2,pj,bj]= redpacet(m,n,p)
%红包总数，红包个数，抽中号码,n只能是10或者5，若p为两个数则用[1,5]表示
%bb是红包的大小，point2是红包小数点后两位字符，pj是point2两两相加，bj是中奖个数
b=zeros(1,n);
while sum(b>=0.01)~=n;            %使每个红包都不小于0.01
    RAND=rand(1,n);RAND_scale=(RAND/sum(RAND));
    b=m.*RAND_scale;
end
bb=[];point2=[];
for i=1:length(b)
num=floor(b(i));str=num2str(num);len=length(str);
str1=num2str(b(i));str1=strcat(str1,'000');%在小数后面补齐0，防止位数不够
need_str=str1(1:(len+3));point=str1(len+2:len+3);
bb=[bb,str2num(need_str)];point2=[point2,point];
end
bb(n)=m-sum(bb(1:n-1));                   %保证红包金额之和为m
if n==10
    nj=1:2:20;
    pj=[];bj=0;
for j=nj
    pj1=str2num(point2(j))+str2num(point2(j+1));pj11=num2str(pj1);
    if str2num(pj11(end))==p(1)
        bj=bj+1;
    end
    pj=[pj,str2num(pj11(end))];
end
else n==5
     nj=1:2:10;
    pj=[];bj=0;
for j=nj
    pj1=str2num(point2(j))+str2num(point2(j+1));pj11=num2str(pj1);
    if str2num(pj11(end))==p(1)|str2num(pj11(end))==p(2);
        bj=bj+1;
    end
    pj=[pj,str2num(pj11(end))];
end
end   
end

function [num_bj,SSPH]=repeat(nn,m,n,p)  %%nn是重复的次数
%num_bj为幸运数字的出现次数 SSPH为各个数字出现的次数
num_bj=0;SPH=[];
for i=1:nn
    [bb point2,pj,bj]= redpacet(m,n,p);
    num_bj=bj+num_bj;
    SPH=[SPH,pj];
end
for i=0:9
    SSPH(i+1)=sum(SPH==i);
end
SSPH;
bar([0:9],SSPH);
end