前几天在语音识别学习记录 [传说中的频率混叠和Nyquist定理（定性理解）]中简单理解了一下频率混叠的原因。但是也发现了很多不明白的问题：
1、为什么信号经过傅里叶变换后在频域是关于y轴对称的，这个问题的回答已经写在语音识别学习记录 [信号经傅里叶变换得到的频谱图为什么关于y轴对称（上两篇博客的补充）]中了。
2、为什么离散采样后的信号傅里叶变换后，在频域上的图像是周期性的，即离散采样后的信号的频谱跟原始信号频谱相比，为什么发生了周期延拓。本文来试图去解释这个问题。
先来看一下时域抽样，本文假设抽样脉冲是冲击序列（理想抽样）。如果看不明白可以去看郑君里的《信号与系统》3.10节中关于时域抽样的介绍。
令：
连续信号的傅里叶变换为
，
抽样脉冲的傅里叶变换为
，
抽样后信号的傅里叶变换为
.
先给出这这六个函数的图形，跟着推导过程一起理解：
采用均匀抽样，抽样周期为，抽样频率为
在一般情况下，抽样过程是通过抽样脉冲序列与连续信号
相乘而实现的，即满足
因为是周期信号，可得
的傅里叶变换为（下式中
是单位冲击函数，这一段抽样信号的傅里叶变换推导设计的概念比较多，包括频域卷积定理、冲击函数等，实在看不懂推导过程可以先认同推导中的结果，记住每一步推导得到的结果意义是什么，看下去的话其实是不影响理解的，如果真想仔细理解这些步骤的推导，可以参考郑君里《信号与系统》第三章）
其中
它是的傅里叶级数的系数。
根据频域卷积定理可得
了解频域卷积定理的应该知道上式的*是卷积符号。
将带入上式可得
从上式可以得出下面两个结论（关键）：
1、信号在时域被抽样后，它的频谱是连续信号频谱
的形状以抽样频率
为间隔周期的重复而得到的。
2、在重复的过程中幅度被的傅里叶系数
所加权。
是n的函数，跟
无关，所以重复的过程中不会改变形状。
上面已经说过抽样脉冲是冲击函数（理想抽样），即
可以计算出（具体计算过程不再说了，可以参考《信号与系统》）
这样得到的就是上文图中的形状。
到此可以发现，
1、抽样信号的频谱图发生周期延拓的原因其实是频域卷积定理的使用。也就是说周期延拓只是计算方法产生的，没有什么物理意义。
2、从上面的图中也可以清晰的发现，如果原信号的最大角频率大于
就会出现频率混叠的情况，从而不能还原原信号。