[平衡树] 平衡树学习笔记

好久不见！
就差这个坑就补齐了！
估计高三也不会太更博客了，不知道是不是NOIP前的最后一篇？
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发现自己平衡树学了跟没学一样，退役了简单学了一发……
平衡树有很多，比如AVL树，红黑树（RBTree）什么的，AVL被魔改成SBT？RBTree是系统中的平衡树。但是不常用不介绍了。
平衡树的本质是一棵二叉搜索树（Binary Search Tree，即BST），规定一个二叉树，其左儿子的值都小于它，其右儿子的值都大于它，也就是说把二叉搜索树按中序遍历即可对这些数进行排序。但是这个二叉搜索树不是唯一的。
我们可以用BST解决一些维护集合问题，比如插入一个数，查询某数排名（第几小）和查询第$k$大数。直接按着定义模拟，把BST搜一遍即可完成操作。
可是这种操作很爆炸，当按照从小到大的顺序插入数据的时候复杂度会很大（此时BST为一条链），而且删除操作很困难。
那么就需要一些操作维护这棵BST了。
我们发现，有两个操作：左旋和右旋可以在不破坏BST性质的情况下维护这棵BST不会退化成链的形式。
下面给出一棵BST的一部分

右旋的意思即为：对于$k$节点，把父亲节点$x$作为自己的右儿子，自己的右儿子作为旋转后$x$的左儿子。
分步的操作如下：
->
因为$lc<k<rc<x<RC$，旋转后仍符合。
那么左旋就很好理解了：对于$k$节点，把父亲节点$x$作为自己的左儿子，自己的左儿子作为旋转后$x$的右儿子。
->
这样旋转有什么用呢？
于是就有这几种维护方式了！

1、Splay

Splay可以说是一种经典的维护方式了，通过维护$x$-父亲-祖父的关系实现平衡，也就是判断这三个点是否在一条直线上实现平衡。
记录操作$\text{Splay}(x)$为把$x$节点转到根上。这样很容易就可以快速查找了。
那么如何旋转呢？
于是我们开始了大段的讨论：（其实就三种……）
1、$x$的父亲就是根……
转一次就行了……
2、$x$-父亲-祖父在一条直线上：
这种情况如图：

现在$f$是$x$的左儿子，$g$是$f$的左儿子（右儿子同理，只不过操作相反），那么我们将$g$右旋，再将$f$右旋即可（如果右儿子即为左旋），这个是Zig-Zig（Zag-Zag）操作。
如图所示……
->
这样$x$就是根了！
3、$x$-父亲-祖父不在一条直线上：
就是拧着的呗……

现在$f$是$g$的右儿子，$x$是$f$的左儿子（反着的同理），我们反向操作，对$f$右旋，再对$g$左旋即可把$x$转到根上。这个是Zig-Zag（Zag-Zig）操作。
如图所示……
->
于是我们可以把任意一个节点都转到根上了！
那么复杂度呢……
根据势能分析，可知$n$个点，$m$次操作的Splay树的时间复杂度为$O((n+m)\log_2 n)$。
这里的势能可以理解为物理学势能，网上证明应该很多吧……这里不贴了……
Splay应用广泛，可以支持动态序列操作（如普通的平衡树），还可以支持区间变化的操作，比如区间反转，区间移动等。
如何在Splay上提取区间呢？
记需要提取$[l,r]$，那么把$l-1$提到根，将$r+1$提到根的右子树，那么根的右子树的左子树（即$r+1$的左子树）即为$[l,r]$区间的所有元素，就可以根节点打标记来维护了。
但是当$l=1$时没有$0$元素，当$r=n$时没有$n+1$元素，这样就需要手动添加$0$和$n+1$元素了。
Splay还可以用在Link-Cut Tree上（即动态树），就可以维护森林中每棵树的形态了。这玩意很玄学就不补板子了……
Splay在遇到有序数据的时候还会被卡……

2、Treap

Treap是个很玄学的数据结构，它是BST和Heap的合体版本。
堆是个二叉树，其每个节点的优先级比儿子们的优先级都要小，这就是priority_queue的实现方式。
因为BST是因为一些有序数据使得其退化，然而随机数据可以认为是无序的。那么把随机数当做Heap的优先级维护Tree就可以达到平衡BST的作用。所以，我们利用左旋和右旋操作保持Heap的性质，即可达到BST的平衡。
Treap的树高期望是$O(\log_2 n)$的，所以它的复杂度是期望$O(\log_2 n)$的。
Treap还有无旋维护的，是利用把树分成两块再合并的操作维护。
Treap还可以演变为替罪羊树，主要思想是暴力重构……是一种重量平衡树。
可以用Windows卡Treap（Windows下的rand范围比较小，再乘一个rand就可以防卡了……）

3、SBT

SBT是2006年在冬令营上首次出现的，可是被诸神犇喷不知道为什么……据说是换了一种方式维护AVL。
主要是用Maintain操作维护平衡，而且这个Maintain操作是均摊$O(1)$的非常快（据说比AVL，Treap，Splay快很多）。
在知乎上陈启峰本人已经给出了资料包，可以参考。
貌似SBT只能刷裸题+刷时间榜……
下面是喜闻乐见的板子时间……
Splay
Treap
SBT