【待完善】欧拉函数

说明：本篇文章待完善中，如有错误，感谢指正。

文章中涉及的其它名词：

质数 
互质 
质因数

---

欧拉函数

简介

定义

欧拉函数值是指小于n的正整数中与n互质的数的个数，记为φ(n)，其中n为正整数，规定φ(1)=1。例如φ(8)=4，因为符合要求的数有1,3,5,7，共4个。φ: N→N，n→φ(n)，称为欧拉函数。

一般公式：

 
其中是x的第i个质因数，n代表所有，即x的所有质因数。

性质

1. 若n为质数，则有。
2. ，其中p为质数，k为正整数。
3. ，其中m，n互质。
4. 若n为质数，且m%n=0，则。
5. 若n为奇数，则 

代码实现：

//计算1到N内所有数的欧拉函数值,结果存放在phi数组中 
#define N 1000
#define MAXN N+5

int phi[MAXN];//欧拉函数，初值为0 
int m[MAXN];//m[i]代表i是否是质数，0:是质数， 1不是质数，初值为0 
int p[MAXN];//存放质数，初值为0 
int num_p;//当前已得到的质数的个数, 初值为0 

void get_phi(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(p[i]==0){//性质1
            p[++num_p]=i;
            phi[i]=i-1; 
        } 
        for(int j=1;j<=num_p && p[j]<i*N;j++){
            m[p[j]*i]=1;//确定p[j]*i不是质数
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];//性质4
                break;
            } 
            else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);//性质3和1
        }
    } 
}