【树】一步一步写线段树（一）——基础操作

线段树

线段树是一棵二叉树，它的每一个节点用于维护一个区间，其叶节点表示一个点或者单位区间。根维护整个区间。所有区间是它父亲结点二等分后的一个子区间。当有n个元素时，对每一个元素的操作的复杂度是$\log n$。

线段树示例
线段树作为一种数据结构，使用范围非常广泛，我们可以在其中添加许多域，令其能够解决更多的问题。

存储

不难得出，我们使用结构体来做最为方便。
由于线段树每一个结点维护的是一个区间，所以，我们可以用两个变量l，r来记录区间；同理，我们就可以在结构体内部加上各种变量来维护这个区间。
线段树的存储方式与二叉树一样，在这里我们采用全局数组存储（当然你也可以使用你的方法）。
示例代码：

struct node{
    int l,r;
}Tree[4*Maxn+5];
//经验表明，我们必须使用这么大的数组
//因为线段树有2*N个节点，且生长极不规律
//按这种方法存储，则每个节点的两个儿子分别是2i，2i+1
//否则RE
//当然用指针做更好（不会浪费过多空间）

建树

存储做好了，我们就开始建树。
我们运用递归的思路来建树。
根据线段树的定义，我们可以递归地将区间$[l,r]$分成$[l,\frac{l+r}{2}]$和$[\frac{l+r}{2}+1,r]$两个子区间，再递归地分下去，直到分成了一个一个的单位区间。
示例代码：

void Build(int i,int l,int r) {
//i-当前结点编号，l,r当前区间左右端点
    Tree[i].l=l;
    Tree[i].r=r;
    //记录左右端点
    if(l==r) {
        //中间N多初始化操作
        return;
    }//处理单位区间
    int mid=(l+r)/2;
    Build(i*2,l,mid);
    Build(i*2+1,mid+1,r);
    //递归地分下去
    PushUp(i);//别忘了把上传标记
}

我们就得到了一棵空的线段树，接下来就是遍历。

遍历

我们可以利用线段树是一棵二叉树的特点，使用递归来遍历它。
伪代码如下：

DFS(i) //i-当前结点编号
    DFS(i*2);//遍历左子树
    DFS(i*2+1);//遍历右子数
    //接下来的N多操作
//当然你也可以加上一些参数，使其变为一个统计函数

更新

线段树的更新可以很方便用地分治实现。
我们可以很快得出以下代码：

void Update(int i,int l,int r,int val) {//i-当前结点编号,[l,r]要修改的区间,val目标值
    int mid=(Tree[i].l+Tree[i].r)/2;
    if(l==Tree[i].l&&r==Tree[i].r) {//到达指定区间[l,r]
        //修改值
        return;
    }
    PushDown(i);//下传标记
    if(r<=mid)
        Update(i*2,l,r,val);
    else if(l>=mid+1)
        Update(2*i+1,l,r,val);
    else {
        Update(i*2,l,mid,val);
        Update(i*2+1,mid+1,r,val);
    }
    //以上if-else嵌套是分治更新
    //如果超出左子区间，则以当前区间的中点二分，递归进行更新
    PushUp(i);//上传标记
}

如果我们不去改变区间$[l,r]$，又该如何实现呢？
其实很简单：我们只需不停地遍历整棵树，找出含有区间$[l,r]$的区间，打上标记并返回，等到下一次更新时路过这个节点时将其标记下传

void Update(int i,int l,int r,int val) {
    if(r<Tree[i].l||l>Tree[i].r)return;/*未在区间则返回*/
    if(/*已被更新则返回*/)return;
    if(l<=Tree[i].l&&Tree[i].r<=r) {
        //打上标记
        return;//返回
    }
    PushDown(i);
    Update(i*2,l,r);//直接找子区间
    Update(i*2+1,l,r);
    PushUp(i);
}