RowGame TopCoder - 10664 DP+图论 hqg_ac

$RowGame$ $TopCoder$ $-$ $10664$

题意是在一段区间中，跳k步，向跳之后必须向右跳，

每一步从$a[i]$跳到$a[j]$时会获得$a[i]+...+a[j]$的能量，

跳的过程中不得出现任何时刻<0，求$MAX$

分析:

首先，容易想到结尾时肯定是在某一段区间中跳来跳去刷分。

我们把跳动过程抽象一下

$1 ... a b$ $a b$…… $c d$ $c d$ …..$

为什么会有$ab$这一个环？ 肯定是$ab$ 和$cd$之间有一个巨大的负数，需要在$ab$段刷够分再跳到$cd$段刷分

思路来了：这不就是个裸的 图论+$DP$ 么

$dp$数组被拆分成两部分：$tim[i],val[i]$,分别表示到达i的最小步数和最大分值

预处理出以i为后缀$(j(<=i)~i)$的最大环长（跳过来再跳回去，形成一个正环）$C[i]$

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初始的时候$tim$赋$inf,val$赋$-inf$

由于$N$很小，我们通过$Bellman-Ford$的方法解决每一个$dp[]$（同样也可以用$Dijkstra,SPFA$）

处理方法详见代码和注释

之后，统计答案，只要$tim[i]<=K$即可

不要忘记最后一次跳到一个最大的地方刷分！！！

注意答案要$long$ $long$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define inf ~0ull>>1
#define infs 3LL<<62
long long max(long long a,long long b){
    return a>b?a:b ;
}
class RowGame{
private:
    long long tim[110],val[110],C[110] ;
    long long K;
    int n,nn;
    long long a[110],G[110][110] ; 
    //tim[i]:到达i时最少需要多少步 
    //val[i]:到达i时的最大分 
    //C[i]:i的后缀和的最大值（To 刷分） 
public:
    long long score(vector<int> board,int k){
        K=k; 
        n=board.size() ;
        nn=2*n;
        //nn：拆点，记录向左，向右 
        for (int i=0;i<n;i++) a[i]=board[i] ;
        for (int i=0;i<nn;i++)
        for (int j=0;j<nn;j++)
        G[i][j]=infs ; 
        for (int i=0;i<n;i++){
            long long sum=0;
            for (int j=i;j<n;j++){
                sum+=a[j] ; 
                G[i][j+n]=G[j+n][i]=sum ;//累加得到 
            }
        } 
        for (int i=0;i<nn;i++){ //计算最大环长(枚举i前） 
            C[i]=0;
            for (int j=0;j<nn;j++) C[i]=max(C[i],G[i][j]+G[j][i]) ; 
        }
        for (int i=0;i<nn;i++) {
            tim[i]=inf ;//初始一个oo
            val[i]=infs ;//初始一个-oo
        }
        tim[0]=val[0]=0;
        for (int rnd=0;rnd<nn;rnd++){ //类似Bellman-Ford 
            for (int i=0;i<nn;i++)
            if (tim[i]!=inf){
                for (int j=0;j<nn;j++)
                if (G[i][j]!=infs){
                    long long t=tim[i],v=val[i] ;
                    if (v+G[i][j]<0) { //跳过这段出现负数，需要刷分 
                        if (C[i]<=0) continue ;//并没有起到任何的刷分效果（因为它是负的）
                        long long u=(-(v+G[i][j])+C[i]-1)/C[i] ;
                        //上取整，u表示在i~j这段区间中最少要刷多少回才能跳到下一个地方
                        t+=u*2 ;//+刷分的时间 
                        v+=u*C[i] ;//刷得的分 
                    }
                    v+=G[i][j] ;t++;//还有一次机会，选一个最佳的 
                    if (t<tim[j] || (t==tim[j] && v>val[j])){
                        tim[j]=t;val[j]=v ;//时间更优或者值更大 
                    }
                } 
            }
        } 
        long long ans=0;
        for (int i=0;i<nn;i++){
            if (tim[i]<=K){
                ans=max(ans,val[i]);
                ans=max(ans,val[i]+(K-tim[i])/2*C[i]) ;
                //可以选择当前最大值，或者在这个最大环中刷分 
                if (tim[i]!=K){
                    for (int j=0;j<nn;j++){
                        if (G[i][j]!=infs){
                            ans=max(ans,val[i]+(K-1-tim[i])/2*C[i]+G[i][j]) ;
                            //在最大环上刷分，不要忘记最后一轮再找一个最大位置刷一下 
                        }
                    }
                } 
            }
        } 
        return ans ;
    }
};