分组背包问题Matlab实现——之基本背包问题

2016年7月27日星期三

T.s.road总结笔记：分组背包问题Matlab实现——之基本背包问题

项目源码：https://github.com/Tsroad/KnapsackProblemSeries

作者说明：

When running thisprogramme, the author’s PCsetting is:

Microsoft Windows 7 (SP1) + Matlab R2010b +CPUi5-4590 + RAM 4.0GB.

(LabSX309; Check by Keung Charteris or T.s.road CZQ & F.Hong)

题目

有N件物品和一个容量为C的背包。第i件物品的价值是V[i]，重量是W[i]。求解将哪些物品装入背包，使得重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。其状态转移方程便是：

M(i,v)=max{第i件物品不放入背包, 第i件物品放入背包}

M(i,v)=max{M( i-1 , C) , M( i-1 , C-W(i) ) + V(i)}

用子问题定义状态：即M(i,v)表示前i件物品恰放入一个容量为C的背包可以获得的最大价值。

M(i,v)=max{（不放入物品i）将前i-1件物品放入容量为C的背包中的最大价值,

（放入物品i）将前i-1件物品放入容量为C- W(i)的背包中的最大价值+ V(i)}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为C的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为C的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为C-W(i)的背包中”，此时能获得的最大价值就是M( i-1 , C-W(i) )再加上通过放入第i件物品获得的价值V(i)。

%   问题分析
% 1. 判断第一个物品放或不放；
% 2. 判断下一个物品是放还是不放；M[i,c]=M[i-1,c] or M[i,c]= M[i-1,c-w(i)]+v(i)；
% 3. 重复2；
% 4. 找出这些物品。


clc;  %清除所有
clear all;%清除变量
close all;%关闭图片

Capacity=10;% 背包的容量
Weight= [0,2,2,6,5,4];% 物品的重量，其中0号位置不使用 。
Value= [0,6,3,5,4,6];% 物品对应的价钱，0号位置置为空。
NumberOfObject =length(Weight);% n为物品的个数
TransferMatrix=[];%定义状态转移矩阵
ObjectState=[];%背包里物品的状态

%1.判断第一个物品放或不放；
for FlagTemp=1:11
        if Weight(NumberOfObject)<FlagTemp
                TransferMatrix(NumberOfObject,FlagTemp)=Value(NumberOfObject) ;
        else
                TransferMatrix(NumberOfObject,FlagTemp)=0;
        end
end

%2.判断下一个物品是放还是不放；不放时：F[i,v]=F[i-1,v]；放时：F[i,v]=max{F[i-1,v],F[i-1,v-C_i]+w_i}；
%3.重复2.
for FlagTempExternal=NumberOfObject-1:-1:1
        for FlagTemp=1:11
                if FlagTemp<=Weight(FlagTempExternal)
                        TransferMatrix(FlagTempExternal,FlagTemp)=TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp);
                else
                        if TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp)>TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp-Weight(FlagTempExternal))+Value(FlagTempExternal)
                                TransferMatrix(FlagTempExternal,FlagTemp)=TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp);
                        else
                                TransferMatrix(FlagTempExternal,FlagTemp)=TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp-Weight(FlagTempExternal))+Value(FlagTempExternal);
                        end
                end
        end
end
TransferMatrix

%4.找出这些物品。

FlagTempExternal=Capacity;
for FlagTemp=1:NumberOfObject-1
        if TransferMatrix(FlagTemp,FlagTempExternal)==TransferMatrix(FlagTemp+1,FlagTempExternal)
                ObjectState(FlagTemp)=0;
        else
                ObjectState(FlagTemp)=1;
                FlagTempExternal=FlagTempExternal-Weight(FlagTemp);
        end
end
if TransferMatrix(NumberOfObject,FlagTempExternal)==0
        ObjectState(NumberOfObject)=0;
else
        ObjectState(NumberOfObject)=1;
        
end

ObjectState

运行结果：

分组背包问题Matlab实现——之基本背包问题

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