【学习笔记】求解简单递归式的一般方法

一、求解$F(n)=aF(n-1)+b$
解: $F(n)=aF(n-1)-\frac{b}{a-1}+\frac{ab}{a-1}$
$F(n)+\frac{b}{a-1}=a(F(n-1)+\frac{b}{a-1})$
同理$F(n-1)+\frac{b}{a-1}=a(F(n-2)+\frac{b}{a-1})$
$......$
$F(2)+\frac{b}{a-1}=a(F(1)+\frac{b}{a-1})$
$F(n)=a^{n-2}(F(1)+\frac{b}{a-1})-\frac{b}{a-1}$

二、求解$F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)$
特征方程法
令$x+y=a, xy=-b$
$F(n)=(x+y)F(n-1)+xyF(n-2)$
$F(n)-xF(n-1)=y(F(n-1)+xF(n-2))=y^{n-2}(F(2)-F(1))$
$F(n)-yF(n-1)=x(F(n-1)+yF(n-2))=x^{n-2}(F(2)-F(1))$
$(x-y)F(n-1)=(x^{n-2}-y^{n-2})(F(2)-F(1))$
$F(n)=\frac{x^{n-1}-y^{n-1}}{x-y}(F(2)-F(1))$

以上两种方法的本质都是构造一种函数$G(x)=dG(x-1)$. 但是构造的方式略有不同。