C++之单字符串匹配问题

有很多算法可以解决单模式匹配问题。而根据在文本中搜索模式串方式的不同，我们可以将单模式匹配算法分为以下几种：

• 基于前缀搜索方法：在搜索窗口内从前向后（沿着文本的正向）逐个读入文本字符，搜索窗口中文本和模式串的最长公共前缀。
  • 著名的 Knuth-Morris-Pratt (KMP) 算法和更快的 Shift-Or 算法使用的就是这种方法。
• 基于后缀搜索方法：在搜索窗口内从后向前（沿着文本的反向）逐个读入文本字符，搜索窗口中文本和模式串的最长公共后缀。使用这种搜索算法可以跳过一些文本字符，从而具有亚线性的平均时间复杂度。
  • 最著名的 Boyer-Moore 算法，以及 Horspool 算法、Sunday (Boyer-Moore 算法的简化) 算法都使用了这种方法。
• 基于子串搜索方法：在搜索窗口内从后向前（沿着文本的反向）逐个读入文本字符，搜索满足「既是窗口中文本的后缀，也是模式串的子串」的最长字符串。与后缀搜索方法一样，使用这种搜索方法也具有亚线性的平均时间复杂度。这种方法的主要缺点在于需要识别模式串的所有子串，这是一个非常复杂的问题。
  • Rabin-Karp 算法、Backward Dawg Matching (BDM) 算法、Backward Nondeterministtic Dawg Matching (BNDM) 算法和 Backward Oracle Matching (BOM) 算法使用的就是这种思想。其中，Rabin-Karp 算法使用了基于散列的子串搜索算法。

摘取自01.字符串基础知识 | 算法通关手册 (itcharge.cn)

这里主要是通过C++实现单模式串匹配问题

• Brute Force算法
• Rabin Karp算法
• KMP算法
• Boyer Moore算法
• Horspool算法
• Sunday算法

Brute Force算法

中文意思是暴力匹配算法，也可以叫做朴素匹配算法。

算法思想：将子串的第一个元素与主串的每一个元素逐一对比，直到在主串中匹配到该子串，或者找不到匹配子串。

代码实现如下：

int BruteForce(const string& t, const string& p) {
    
    
	int i,j;
	i = j = 0;
	while (i < t.size() && j < p.size()) {
    
    
		if (t[i] == p[j]) {
    
    
			i += 1;
			j += 1;
		}
		else {
    
    
			//这波恢复属实精彩
			i = i - (j - 1);
			j = 0;
		}
	}

	if (j == p.size()) return i - j;
	else return -1;
}

代码较为简单，要注意的是，当匹配到n个元素，出现错误时，需要回到最开始匹配的地方。

时间复杂度分析：（n为主串长度，m为子串长度）

• 最好的情况：直接匹配成功，O(m)
• 最换的情况：每一次匹配都要进行m次匹配，总共要进行n-m+1。
• 平均时间复杂度：在一般的情况下，根据等概率原则，时间复杂度O(n+m)。

Rabin Karp算法

Rabin Karp算法简称为RK算法，

算法思想：对于给定文本串 T 与模式串 p，通过滚动哈希算法快速筛选出与模式串 p 不匹配的文本位置，然后在其余位置继续检查匹配项。

代码实例

int RabinKarp(const string& t, const string& p, int d,int q) {
    
    
	if (t.size() < p.size()) return -1;
	int hash_p, hash_t; 
	hash_p = hash_t = 0;

	// 获取p和t的哈希值
	for (int i = 0; i < p.size(); i++) {
    
    
		hash_p = (hash_p * d + int(p[i]-'a')) % q;
		hash_t = (hash_t * d + int(t[i]-'a')) % q;
	}

	// 最大一位为1的值
	int power = int(pow(d,int(p.size()) - 1)) % q;

    // 开始进行匹配
	for (int i = 0; i < t.size() - p.size() + 1; i++) {
    
    
		if (hash_p == hash_t) {
    
    
			bool match = true;
			for (int j = 0; j < p.size(); j++) {
    
    
				if (t[i + j] != p[j]) {
    
    
					match = false;
					break;
				}
			}
			if (match) return i;
		}
		if (i < t.size() - p.size()) {
    
    
			hash_t = (hash_t - power * int(t[i]-'a')) % q;   //减去前一个值
			hash_t = (hash_t * d + int(t[i + p.size()]-'a')) % q;  //加入新值
			hash_t = (hash_t + q) % q;  //确保 hash_t > 0
		}
	}

	return -1;
}

对于这个RK算法，我们用到了4个参数，主串t，子串p，进制数d，以及最大取余数q。

RK算法主要用到了哈希函数，且采用的是进制hash函数。

比如 cat 的哈希值就可以表示为：
$$\begin{array}{rl}Hash(cat)& =c\times 26\times 26+a\times 26+t\times 1\\ & =2\times 26\times 26+0\times 26+19\times 1\\ & =1371\end{array}$$

比如你的匹配字符串中有26个字符，那么可以采用26进制，这样就将cat通过哈希函数转换成了整数。不过为了防止数值过大而溢出，需要采用q对于计算的结果取余。

了解哈希函数之后，我们再来看代码。

1. 防止p子串长度大于t主串。
2. 计算p子串的哈希值，也计算和p相同长度的t截取部分的哈希值。
3. 同时先储存p最高位且系数为1的值，方便后续计算。
4. 然后遍历主串，从0到n-m+1，如果t的哈希值与p的哈希值相同，就进行后续的匹配操作，匹配成功则返回索引，失败了则继续循环。
5. 如果上述匹配没有成功，那么就需要移动一步，并且重新计算t的哈希值，不过只需要去掉最高位，在重新计算就可以了。

可能有人会有疑惑，为什么哈希值相同了还需要进行匹配操作，那是因为哈希函数存在一个问题，那就是哈希冲突，即不同的子串却得到了相同的哈希值，因此最后还需要进行一步验证。

时间复杂度分析

如果不存在哈希冲突问题，那么时间复杂度为O(n)，只需要遍历一次即可。

最坏的情况则是每次都会出现冲突，也就是BF算法一样，时间复杂度为O(m*n)

这里实现的RK算法，只针对小写字母，大写字符以及大小写混合，还需要修改提取ASCII值的那个部分。

KMP算法

KMP 算法思想：对于给定文本串 T 与模式串 p，当发现文本串 T 的某个字符与模式串 p 不匹配的时候，可以利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与文本串的匹配次数，避免文本串位置的回退，以达到快速匹配的目的。

这里列举一个简单的例子

我们可以看到，KMP算法相比于BF算法，在匹配失败之后，KMP回退了2格，而BF算法要回退了4格，即起始位置的后一位。显然KMP算法的效率是更快的。那么他是怎么实现的呢？

它应用了额外的空间，即next数组。我们可以这样想，子串长度是3，那么无非就是4种情况，1.无匹配；2.匹配一个；3.匹配两个；4.匹配成功。

除掉最后第四种情况，我们只需要将上述三种情况发生，子串应该回退多少记录就行了。这样每次匹配失败，直接根据next数据进行回退就可以了。

当然next的构造肯定是需要通过代码实现的，而不是人为计算。

代码如下

vector<int> GenerateNext(const string& p) {
    
    

	vector<int> next(p.size(), 0);

	int left = 0;
	for (int right = 1; right < p.size(); right++) {
    
    
		while (left > 0 && p[left] != p[right])  left = next[left - 1]; //不同的，且left不为0的，等于left-1为索引的数组值。
		if (p[left] == p[right]) left += 1;  //遇到相同的，则left+1
		next[right] = left;  //next赋值
	}

	return next;
}

这里举一个例子ABCDEFG，他们都是不同的字符，所以都为0。

0 0 0 0 0 0 0

接下来我们再来看ABCABCF

0 0 0 1 2 3 0

这里next数组中的数字表示下一次匹配，可以跳过字符的个数。

当你匹配到第二个B，发现匹配错误，说明前4个字符匹配成功，然后查找最后一个匹配成功的next数组值，即A，值是1，代表下一次匹配可以跳过1个字符。

所以最后算法实现代码如下：

int Kmp(const string& t, const string& p) {
    
    
	vector<int> next = GenerateNext(p);

	int j = 0;
	for (auto i = 0; i < t.size(); i++) {
    
    
		while (j > 0 && t[i] != p[j]) j = next[j - 1];  //j-1表示最后一个匹配成功的字符
		if (t[i] == p[j]) j++;
		if (j == p.size()) return i-j+1;
	}
	return -1;
}

算法实现非常简单；

1. 获取next数组
2. 遍历主串
   • 如果匹配失败，且j>0，则通过最后一次匹配成功的next数组值进行回退。
   • 如果一个元素匹配成功，接着匹配下一个。
   • 全部匹配成功，而返回匹配成功字符串的起始位置。

我们可以发现该算法速度极快，只需要O(n+m)。即next数组和一个for循环。

Boyer Moore算法

一种基于后缀的搜索匹配算法，如果想了解详细的原理，可以参考下面这篇文章，浅显易懂。

浅谈字符串匹配算法 —— BM算法_-红桃K的博客-CSDN博客_bm算法的优缺点

如果阅读了上述博客之后，这里我们在进行字符串匹配的代码实现。

首先是坏字符表

unordered_map<char, int> GenerateBadCharTable(const string& p) {
    
    
	unordered_map<char, int> bc_table;
	for (auto i = 0; i < p.size(); i++) bc_table[p[i]] = i;
	return bc_table;
}

这里将出现过的字符进行一对一赋值，我们可以发现最后相同字符对应的值为该字符最后一次出现的位置。坏规则表有什么作用呢？

• 如果匹配到坏字符，发现坏字符不在字典中，则直接大步移动子串到新一位。

• 如果匹配到坏字符在字典中，可能出现两种情况，这里讲一下位移为负的情况

  a b c c c

  ​ c e c

  这里我们匹配到c和e是不同的，然后我们查到坏字符表总的c的值为2（取字符最后一次出现）这样我们计算移动位置，1-2=-1，反而要想向后移动，这样是不合理的，所以就需要另一个规则，好后缀。

这里时间复杂度为O(m)

接下来是好后缀

vector<int> GenerageSuffixArray(const string& p) {
    
    
	vector<int> suffix(p.size(), 0);
	for(int i = p.size() - 2; i >= 0; i--) {
    
    
		int start = i;
		while (start >= 0 && p[start] == p[p.size() - 1 - i + start]) start--;
		suffix[i] = i - start;   // 更新下标以i结尾的子串与模式后缀匹配的最大长度
	}
	return suffix;
}

这里需要先构建suffix数组，其中 suffix[i] = s 表示为以下标 i 为结尾的子串与模式串后缀匹配的最大长度为 s。即满足 p[i-s...i] == p[m-1-s, m-1] 的最大长度为 s。

这个数组里面每一个结尾的子串都是和后缀进行比较，所以称为好后缀。

加下来就是生成好后缀后移位数表gs_list代码如下：

这里好后缀规则后移位数表有三种情况

1. 模式串中有子串匹配上好后缀。
2. 模式串中无子串匹配上好后缀，但有最长前缀匹配好后缀的后缀。
3. 模式串中无子串匹配上好后缀，也找不到前缀匹配。

vector<int> GenerageGoodSuffixList(const string& p) {
    
    
	vector<int> gs_list(p.size(), p.size());  //初始化时，假设全部为情况3
	vector<int> suffix = GenerageSuffixArray(p);

	int j = 0;  // j为好后缀前的坏字符位置
	for (int i = p.size() - 1; i >= 0; i--) {
    
      // 情况2 从最长的前缀开始检索
		if (suffix[i] == i + 1) {
    
      // 匹配到前缀， p[0...i]==p[m-1-i...m-1]
            while(j < p.size()-1-i){
    
    
                if (gs_list[j] == p.size()) {
    
    
                	gs_list[j] = p.size() - 1 - i;   //更新在j处遇到坏字符可向后移动位数
            	}
                j++;
            }
		}
	}

    //情况1 匹配到子串 p[i-s...i] == p[m-1-s, m-1]
	for (int i = 0; i < p.size() - 1; i++) {
    
    
		gs_list[p.size() - 1 - suffix[i]] = p.size() - 1 - i;
	}
	return gs_list;
}

这里全程是取后缀进行比较，不必考虑前缀或者内部子串与内部子串是匹配的。这个位移表核心的作用就是如果在第j位出现错误匹配，那么后面的好后缀是否在子串p后面存在相同的匹配，存在则位移到前方。

根据三种情况，如果好后缀匹配不到，则直接赋为最大值。

如果匹配得到，则位移到匹配的地方。这里通过先分析前缀，在分析内部子串来进行全覆盖分析。

• 前缀的话，计算j在任意匹配位置上出现换字符的移动位数
• 内部字串的话，直接更新匹配到字符的位置即可。

BM算法时间复杂度分析

• BM 算法在预处理阶段的时间复杂度为 O(n+σ)，其中 σ 是字符集的大小。
• BM 算法在搜索阶段最好情况是每次匹配时，模式串 p 中不存在与文本串 T 中第一个匹配的字符。这时的时间复杂度为 O(n/m)。
• BM 算法在搜索阶段最差情况是文本串 T 中有多个重复的字符，并且模式串 p 中有 m - 1 个相同字符前加一个不同的字符组成。这时的时间复杂度为 O(m∗n)。
• 当模式串 p 是非周期性的，在最坏情况下，BM 算法最多需要进行 3∗n 次字符比较操作。

Horspool算法

「Horspool 算法」 是一种在字符串中查找子串的算法，它是由 Nigel Horspool 教授于 1980 年出版的，是首个对 Boyer Moore 算法进行简化的算法。

代码实现

unordered_map<char, int> GenerateBadCharTable_2(const string& p) {
    
    
	unordered_map<char, int> bc_table;
	for (auto i = 0; i < p.size()-1; i++) bc_table[p[i]] = p.size()-1-i;  //更新遇到坏字符可向右移动的距离
	return bc_table;
}

和BM不一样的是，这个坏字符表的数值和BM是相反的，BM是递增，Horspool是递减。相同之处则是，如果遇到相同字符，以最右侧的字符的值为准。

代码实现

int Horspool(const string& t, const string& p) {
    
    
	int n = t.size();
	int m = p.size();

	unordered_map<char, int> bc_table = GenerateBadCharTable_2(p);
	int i = 0;
	while (i <= n - m) {
    
    
		int j = m - 1;
		while (j > -1 && t[i + j] == p[j]) j -= 1;  //进行后缀匹配
		if (j < 0) return i;

		//失败则通过坏字符表进行移位
		i += bc_table.find(t[i + m - 1]) != bc_table.end() ? bc_table[t[i + m - 1]] : m;
	}
	return -1;
}

这次的实现则只有坏字符表，因为这里的坏字符采用的是逐渐递减的移位方式，如果匹配失败，则对比后缀最后一位数字，来进行移位操作。

• Horspool 算法在平均情况下的时间复杂度为 O(n)，但是在最坏情况下时间复杂度会退化为 O(n∗m)。

Sunday算法

Sunday 算法思想：对于给定文本串 T 与模式串 p，先对模式串 p 进行预处理。然后在匹配的过程中，当发现文本串 T 的某个字符与模式串 p 不匹配的时候，根据启发策略，能够尽可能的跳过一些无法匹配的情况，将模式串多向后滑动几位。

与Horspool不同的是，如果匹配失败，它关注的是参加匹配的末尾字符的下一位字符。

首先是坏字符表

unordered_map<char, int> GenerateBadCharTable_3(const string& p) {
    
    
	unordered_map<char, int> bc_table;
	for (auto i = 0; i < p.size(); i++) bc_table[p[i]] = p.size() - i;  //更新遇到坏字符可向右移动的距离
	return bc_table;
}

对于坏字符表和Horspool算法不一样的是，这里少了一个-1。且覆盖到所有元素

然后是代码实现

int Sunday(const string& t, const string& p) {
    
    
	int n = t.size();
	int m = p.size();

	unordered_map<char, int> bc_table = GenerateBadCharTable_3(p);
	int i = 0;
	while (i <= n - m) {
    
    
		int j = 0;
		if (t.substr(i, m) == p) return i;  //匹配完成，返回模式串p
		if (i + m >= n) return -1;
		i += bc_table.find(t[i + m]) != bc_table.end() ? bc_table[t[i + m]] : m+1;
	}
	return -1;
}

首先进行完成的匹配，如果匹配成功，则返回i。如果偏移量i加上子串m的长度大于n，推出，匹配失败。

然后就是位移准则：匹配失败之后，直接匹配主串中匹配失败末尾的后一位字符，进行移位操作。

算法的时间分析

• Sunday 算法在平均情况下的时间复杂度为 O(n)，但是在最坏情况下时间复杂度会退化为 O(n∗m)。

总结：

BM算法非常的复杂，而且也会有效率不高的情况，但是它常态的效率却是KMP的2~3倍，而KMP的效率可以说是非常快了，所以说BM还是非常经典的算法。

每次对同一个问题，不同的解决办法时，我们总需要思考和总结他们对这个问题的优化思路是什么？

• 牺牲一定的效率，提高代码的健壮性和稳定性。
• 面对某个多次调动的表达式，通过预处理，或者缓存来实现加速。
• 通过空间来换时间。
• 又或者对于查找，采用hash结构来提高效率。

等等，都是值得我们思考和总结的。

如果有用希望得到大家的二连，同时也感觉大家的阅读。