四、函数
⌈lgn⌉! 多项式有界吗?函数
⌈lglgn⌉! 多项式有界吗?
文心一言:
chatgpt:
对于第一个问题,函数
⌈lgn⌉! 是阶乘的形式,可以证明它是超多项式增长的,因此不是多项式有界的。
对于第二个问题,函数
⌈lglgn⌉! 的增长速度比
⌈lgn⌉! 慢很多。虽然
⌈lglgn⌉! 不是多项式,但是它是多项式有界的,也就是说,存在一个多项式
p(n) 和常数
c,使得当
n 足够大时,
⌈lglgn⌉!≤c⋅p(n)。这可以使用斯特林公式来证明。
五、如下两个函数中,哪一个渐进更大些:
lg(lg∗n)还是
lg∗(lgn)?
文心一言:
chatgpt:
在这里,我们将
lg∗n 和
lg∗(lgn) 看作一个函数
f(n) 和
g(n),分别表示对数幂函数的不同变形。
首先,我们知道对数幂函数增长非常缓慢,它们比多项式增长更慢,但比指数增长更快。因此,我们可以考虑使用渐进符号来比较这两个函数的上界关系。
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由于
lg(lg∗n)=Θ(lgf(n)) 和
lg∗(lgn)=Θ(lgg(n)),因此我们只需要比较
f(n) 和
g(n) 的增长速度即可。
根据定义,对数幂函数
f(n) 表示在连续对数的情况下,最后得到的结果为 1 所需的次数。而对数幂函数
g(n) 表示对数字
n 进行重复对数直到结果小于或等于 1 的次数。因此,
lg∗(lgn) 可以看作是
log 函数的反函数,而
lg(lg∗n) 则表示连续应用反函数的次数。
由于反函数的增长速度要快于原函数,因此可以推断出
lg∗(lgn) 的增长速度要快于
lg(lg∗n),也就是说
lg∗(lgn) 是渐进更大的函数。
因此,
lg∗(lgn) 的渐进增长速度要快于
lg(lg∗n)。