参考资料
- https://max.book118.com/html/2018/1105/8117074134001131.shtm
- 《一道运动学赛题的巧解及延伸》
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/364295457
这两天参加了深圳一家企业的线下笔试,这个公司出了一道当时觉得挺有意思的数学题,于是回学校后网上搜了下发现有类似的题,所以在这边总结一下。
1. 题目描述
3辆飞船A、B、C初始位置分别处于一个边长为 L L L的等边三角形的顶点上,即A点坐标为 ( 3 2 L , 0 ) (\frac{\sqrt{3}}{2}L,0) (23L,0),B点坐标为 ( L 2 , 0 ) (\frac{L}{2},0) (2L,0),C点坐标为 ( − L 2 , 0 ) (-\frac{L}{2},0) (−2L,0)。飞船飞行过程中,飞船均具有相等的速度 v v v,并且A始终朝着B前进,B始终朝着C前进,C始终朝着A前进。
- 问题1:从初始到 t 1 t_1 t1时刻,飞船A,B,C的运行轨迹(假设采样时间为 Δ t \Delta t Δt)。
- 问题2:到无穷远时刻时,飞船A,B,C最终的状态是怎样的?如果三者速度不相等,那么此时飞船A,B,C最终的状态又是怎样的?请推到分析。
2. 问题分析
1. 问题 1
对于问题1,当时错误理解成A、B、C在一开始的等边三角形的边上运动了,所以三下五除二就写出来了,很快啊(真的笑哭)。。
分析
由题意可知,三辆飞船因为速度相等,所以每时每刻飞船之间的距离都是相等的,即每时每刻都构成一个等边三角形,大致如图所示,他们依据某种螺旋曲线靠近。
我们从飞船A开始推导,其他两只飞船同理。假设 t t t时刻飞船A的坐标为 P A ( t ) P_A(t) PA(t),那么根据向量的关系,很容易得到下一时刻飞船A的位置 为
P A ( t + 1 ) = P A ( t ) + n A B ( t ) v Δ t (1) \tag{1} P_A(t+1)=P_A(t)+n_{AB}(t)v\Delta t PA(t+1)=PA(t)+nAB(t)vΔt(1)
n A B ( t ) n_{AB}(t) nAB(t)为 t t t时刻,飞船 A A A指向飞船 B B B的单位向量,它等于
n A B ( t ) = P B ( t ) − P A ( t ) ∣ ∣ P B ( t ) − P A ( t ) ∣ ∣ (2) \tag{2} n_{AB}(t)=\frac{P_B(t)-P_A(t)}{||P_B(t)-P_A(t)||} nAB(t)=∣∣PB(t)−PA(t)∣∣PB(t)−PA(t)(2)
将等式(2)带入等式(1),可得飞船A飞行的实时轨迹为
P A ( t + 1 ) = P A ( t ) + P B ( t ) − P A ( t ) ∣ ∣ P B ( t ) − P A ( t ) ∣ ∣ v Δ t (3) \tag{3} P_A(t+1)=P_A(t)+\frac{P_B(t)-P_A(t)}{||P_B(t)-P_A(t)||}v\Delta t PA(t+1)=PA(t)+∣∣PB(t)−PA(t)∣∣PB(t)−PA(t)vΔt(3)
同理,B、C飞船的轨迹为
P B ( t + 1 ) = P B ( t ) + P C ( t ) − P B ( t ) ∣ ∣ P C ( t ) − P B ( t ) ∣ ∣ v Δ t (4) \tag{4} P_B(t+1)=P_B(t)+\frac{P_C(t)-P_B(t)}{||P_C(t)-P_B(t)||}v\Delta t PB(t+1)=PB(t)+∣∣PC(t)−PB(t)∣∣PC(t)−PB(t)vΔt(4)
P C ( t + 1 ) = P C ( t ) + P A ( t ) − P C ( t ) ∣ ∣ P A ( t ) − P C ( t ) ∣ ∣ v Δ t (5) \tag{5} P_C(t+1)=P_C(t)+\frac{P_A(t)-P_C(t)}{||P_A(t)-P_C(t)||}v\Delta t PC(t+1)=PC(t)+∣∣PA(t)−PC(t)∣∣PA(t)−PC(t)vΔt(5)
根据 等式(3)-(5),通过不停地迭代,即可求出从0时刻到 t 1 t_1 t1时刻的完整轨迹。
python代码实现
为了更好地画图展示效果,这边使用python编程。代码仓库见于github链接。
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导入相关库
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from celluloid import Camera # 保存动图时用,pip install celluloid %matplotlib qt5
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参数设置
# 采样时间 dt=0.01 # 原等边三角形长度 L=1 # 初始坐标点 p_a = np.array([0,np.sqrt(3)/2*L]) p_b = np.array([1/2*L,0]) p_c = np.array([-1/2*L,0]) # 速度 v_a = 1.0 v_b = 1.0 v_c = 1.0 p_center=np.array([0,1/np.sqrt(3)/2]) # 等边三角形中心 # 存储轨迹 trajectory_a=[] trajectory_b=[] trajectory_c=[] # 假设到t时刻停止 t = 1
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迭代公式
def trajectory_point(p_1,p_2,v): n_ = (p_2-p_1)/np.linalg.norm(p_2-p_1) p_now = p_1+n_*v*dt return p_now
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求解轨迹
def all_trajectory(p_1,p_2,p_3,v_a,v_b,v_c): delta=0 while(delta<t/dt): p__1=trajectory_point(p_1,p_2,v_a) p__2=trajectory_point(p_2,p_3,v_b) p__3=trajectory_point(p_3,p_1,v_c) delta+=1 p_1,p_2,p_3=p__1,p__2,p__3 trajectory_a.append(p_1) trajectory_b.append(p_2) trajectory_c.append(p_3) return p__1,p__2,p__3 all_trajectory(p_a,p_b,p_c,v_a,v_b,v_c) trajectory_a=np.array(trajectory_a) trajectory_b=np.array(trajectory_b) trajectory_c=np.array(trajectory_c)
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画图
fig = plt.figure() camera = Camera(fig) # 保存动图用 for i in range(len(trajectory_a)): plt.cla() plt.plot([p_a[0], p_b[0]], [p_a[1], p_b[1]], '-.r', linewidth=1.0) plt.plot([p_b[0], p_c[0]], [p_b[1], p_c[1]], '-.r', linewidth=1.0) plt.plot([p_c[0], p_a[0]], [p_c[1], p_a[1]], '-.r', linewidth=1.0) plt.scatter(p_center[0],p_center[1]) plt.plot(trajectory_a[0:i,0], trajectory_a[0:i,1], '-r',label="A") plt.plot(trajectory_b[0:i,0],trajectory_b[0:i,1],'-g',label="B") plt.plot(trajectory_c[0:i,0], trajectory_c[0:i,1], '-b',label="C") plt.legend() plt.xlabel('x/m') plt.ylabel('y/m') plt.axis('square') plt.grid(True) plt.pause(0.001) # camera.snap() # animation = camera.animate() # animation.save('trajectory.gif') plt.show()
运行轨迹如图所示:
2. 问题 2-1
其实我们可以很容易猜到,三辆飞船在速度相等的情况下,一定会在经过一段时间后三艘飞船相遇在原等边三角形的中心处,因为他们是高度对称的。那么是在什么时候相遇呢,可以看下面推导。
解法 1
根据题意,由于三个飞船都作等速率曲线运动, 而任一时刻 三艘飞船的位置都在正三角形的三个顶点上, 但这三角形的边长不断缩小, 如图所示。
现把从开始到追上的时间 t t t 分成 n n n 个相等的时间间隔 Δ t \Delta t Δt, 在每个微小的时间间隔内, 每艘飞船的运动都可看成是直线运动. 经 Δ t , 2 Δ t , 3 Δ t , ⋯ ⋯ n Δ t \Delta t, 2 \Delta t, 3 \Delta t, \cdots \cdots n \Delta t Δt,2Δt,3Δt,⋯⋯nΔt, 对应 的三角形边长依次为 L 1 , L 2 , L 3 ⋯ ⋯ L n L_1, L_2, L_3 \cdots \cdots L_n L1,L2,L3⋯⋯Ln。当 L n → 0 L_n \rightarrow 0 Ln→0 时三艘飞船相聚。
A 1 B 1 A_1 B_1 A1B1 与 A 1 B 1 ′ A_1 B_1^{\prime} A1B1′,差为二阶小量, 所以
L 1 = A 1 B 1 ≈ A 1 B 1 ′ = L − A A 1 − B B 1 cos 6 0 ∘ = L − 3 2 v Δ t L_1=A_1 B_1\approx A_1 B_1^{\prime}=L-A A_1-B B_1 \cos 60^{\circ}=L-\frac{3}{2} v \Delta t L1=A1B1≈A1B1′=L−AA1−BB1cos60∘=L−23vΔt
同理
L 2 = L 1 − 3 2 v Δ t = L − 2 3 2 v Δ t , L 3 = L 2 − 3 2 v Δ t = L − 3 3 2 v Δ t , ⋯ ⋯ L n = L − n 3 2 v Δ t L_2=L_1-\frac{3}{2} v \Delta t=L-2 \frac{3}{2} v \Delta t,\\ \\ \\ L_3=L_2-\frac{3}{2} v \Delta t=L-3 \frac{3}{2} v \Delta t, \\ \\ \cdots \cdots L_n=L-n \frac{3}{2} v \Delta t L2=L1−23vΔt=L−223vΔt,L3=L2−23vΔt=L−323vΔt,⋯⋯Ln=L−n23vΔt
当 L n → 0 L_n \rightarrow 0 Ln→0 时三艘飞船相聚, 得 t = n Δ t = 2 L 3 v t=n \Delta t=\frac{2 L}{3 v} t=nΔt=3v2L。 每艘飞船走过的路程 s = v t = 2 L 3 s=v t=\frac{2 L}{3} s=vt=32L.
解法2
因三艘飞船都作等速率曲线运动, 而任一时刻三艘飞船的位置都在正三角形的三个顶点上, 即速度沿三角形中心的分速度不变, 指向三角形中心的分速度
v ′ = v cos 3 0 ∘ v^{\prime}=v \cos 30^{\circ} v′=vcos30∘
沿三角形中心的位移
s ′ = L 2 cos 30 ° s'=\frac{L}{2\cos 30°} s′=2cos30°L
则时间 t = s ′ v ′ = 2 L 3 v t=\frac{s'}{v'}=\frac{2L}{3v} t=v′s′=3v2L
从开始到相遇每艘飞船走过的路程为
s = v t = 2 L 3 s=vt=\frac{2L}{3} s=vt=32L
3. 问题 2-2
如果三艘飞船的速度各不相等,那么很显然,最终相遇点不会是原等边三角形的中心。显然相遇点会偏向速度更慢的飞船。
例如, v A > v B > v C v_A>v_B>v_C vA>vB>vC,大致的运行轨迹如下所示: