补数学基础之高斯分布——多维情况

上篇介绍了高斯分布一维的情况，这次来进一步看下多维高斯分布~

一维

首先0均值和单位方差的标准一维高斯分布如下：

二维

那么二维标准高斯分布，就是两个独立的一维标准高斯分布随机变量的联合分布：

用一个随机向量V来表示这两个随机变量的组合V = [x y]^T 所以：

然后从标准高斯分布推广到一般高斯分布，是通过一个线性变换：V= A(x-μ)

记协方差矩阵Σ=(A^TA)^-1 其中|A|为行列式,则：

多维

所以多维高斯分布表达式就出来了：

这其中x，μ∈ R^p, Σ∈ R^p×p ,Σ为协方差矩阵，一般而言也是半正定矩阵。这里我们只考虑正定矩阵。首先我们处理指数上的数字，指数上的数字可以记为x和μ之间的马氏距离。
(马氏距离表示两个向量之间的距离（相似度）
马氏距离与欧式距离的关系：当方差矩阵Σ为单位矩阵时马氏距离为欧式距离)