[计算机数值分析]埃特金算法加速迭代法求根过程

问题描述

由于前有加速方案需要提供迭代函数 φ(x) 的导数 φ(x)′ 的有关信息而不便于实际应用。若取迭代初值 x₀，迭代一次得 x₁，将 x₁ 迭代一次得 x₂，根据对迭代公式的加工(如下所示)，消去估计值 L，则可解出近似根。

由于：
x₁ = φ(x₀)                        x^* - x₁ ≈ L(x^* - x₀)
x₂ = φ(x₁)                        x^* - x₂ ≈ L(x^* - x₁)
故有：
x^* ≈ x₂ - (x₂-x₁)² / (x₂-2x₁+x₀)

若以上式右端得出得结果作为新的改进值，则这样构造出得加速公式不再含有关于导数的信息，但它需要使用两次迭代值进行加工。上述方法称为埃特金(Aitken)加速方法。其具体计算公式如下:
(1)迭代: x₁ = φ(x₀)
(2)迭代第二次:x₂ = φ(x₁)
(3)加权平均改进: x₂ = x₁ - (x₁ - x₂)²/(x₁ - 2x₂ + x₀)
判断是否符合精度要求,符合要求则结束迭代,否则继续。

运行示例

未使用加速算法

使用Aitken加速算法

由此可见，未使用加速算法时，相同条件下，需要迭代 9 次才能找到符合精度要求得近似根，而使用Aitken加速算法时仅仅只需要迭代 2 次，显然，Aitken加速算法效果显著。

源码

//程序实现用迭代法求方程的根
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

//用户自定义的迭代函数f(x)
double function(double x)
{
    
    
	double result = pow(x + 1, 1.0 / 3);
	return result;
}

int main(void)
{
    
    
	//x0为迭代初值，x1=f(x0)为一次迭代值;x2=f(x1)为二次迭代值;
	//x3为利用埃特金加速公式处理后的近似解
	double x0, x1, x2, x3;
	double accrucy, item;    accrucy为精度;
	int n, k = 1;   //n为允许的最大迭代次数

	cout << "请输入迭代初值：";
	cin >> x0;
	cout << "请输入精度：";
	cin >> accrucy;
	cout << "请输入您想要的最大迭代次数：";
	cin >> n;

	do 
	{
    
    
		x1 = function(x0);
		x2 = function(x1);

		x3 = x2 - pow(x2 - x1, 2) / (x2 - 2 * x1 + x0);   //对一、二次迭代值进行加工得x3

		if (abs(x0 - x3) < accrucy)     //根的近似解符合精度要求，输出近似根
		{
    
       
			cout << "近似解为：" << x3;
		}
		else    //继续下一次迭代，直至找到符合精度要求的根或最大迭代次数用完
		{
    
        
			if (k > n)    //允许迭代n次，当迭代次数大于n时结束迭代
			{
    
        
				cout << "迭代次数耗尽，迭代结束！\n未找到符合精度要求的根！！！" << endl;
				break;
			}
			else 
			{
    
    
				//输出本次迭代信息
				cout << "第" << k << "次迭代！\t迭代函数的值为:" << x3 << "\t此次迭代精度为:" << abs(x3 - x0) << endl;
				//交换x0与x2,为下一次迭代做好准备
				item = x0;
				x0 = x3;
				x3 = item;
				k++;
			}
		}
	} while (abs(x0 - x3) >= accrucy);   //循环进行条件为找到的根不符合精度要求

	return 0;
}