【GP】多目标规划建模方法

Goal programming

多目标规划的一般形式，即多目标LP问题
$$\{\begin{array}{rl}& \min (f_1(x),f_2(x),\dots ,f_p(x))\\ & g_i(x)\le 0,i=1,2,\dots ,k\\ & h_j(x)=0,j=1,2,\dots ,l\end{array}$$
考虑到多目标问题中的量纲规范化问题，对于$j$个带量纲的目标$F_j(x)$，令
$$\begin{array}{rl}& f_j(x)=F_j(x)/F_j\\ & F_j=\min F_j(x)\end{array}$$

处理多目标规划问题的方法

评价函数法

评价函数法是将模型(VMP)中的分目标函数转化为一个与之相关的单目标函数问题，对于一个多目标极小化模型$V={\min }_{R}F(x)$，其中$F(x)=[f_1(x),\dots ,f_m(x){]}^T$，$R$为约束集，构造一个单目标极小化问题
$$\underset{x\in R}{\min }\varphi [f_1(x),\dots ,f_m(x)]=\min \varphi [F(x)]$$

线性加权法

设置评价函数为
$$\varphi [F(x)]=\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{f}_i(x)$$
其中${\lambda }_i\ge 0,i=1,2,\dots ,m$, 且${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i=1$

平方和加权法

先求出各个单目标规划问题的一个尽可能好的下界$f_1^0,f_2^0,\dots ,f_p^0$，满足
$$\underset{x\in R}{\min }{f}_i(x)\ge f_i^0$$
然后构造评价函数
$$\varphi [F(x)]=\sum _{i=1}^m{\lambda }_i[f_i(x)-f_i^0{]}^2$$

极小-极大法

min-max决策偏好为：希望在最不利的情况下找出最优解，设置评价函数为
ϕ [ F ( x ) ] = max ⁡ 1 ≤ i ≤ m { f i ( x ) } \phi[F(x)]=\max_{1\leq i\leq m}\{f_i(x)\} ϕ[F(x)]=1≤i≤mmax​{ fi​(x)}
则VMP可以转换为如下极小化问题
min ⁡ x ∈ R ϕ [ F ( x ) ] = min ⁡ x ∈ R max ⁡ { f i ( x ) } \min_{x\in R}\phi[F(x)]=\min_{x\in R}\max\{f_i(x)\} x∈Rmin​ϕ[F(x)]=x∈Rmin​max{ fi​(x)}

乘除法

在VMP中，设对任意$x\in R$，各目标函数值均满足$f_i(x)>0,i=1,2,\dots ,m$，将目标分为两类，不妨设其分别为：

• $f_1(x),f_2(x),\dots ,f_t(x)\to \min$
• $f_{t+1}(x),f_{t+2}(x),\dots ,f_m(x)\to \max$

构造评价函数求解
$$\varphi [F(x)]=\frac{{\prod }_{j=1}^t{f}_j(x)}{{\prod }_{j=t+1}^m{f}_j(x)}$$

理想点法

可以先分别求出各个分目标函数的极小值，然后让各个目标尽量接近极小值来获得解.

MSEP算法

MSEP算法是一种混合策略进化算法，该算法将进化博弈论的思想运用到个体的进化过程中，个体通过变异和选择进行进化博弈，并通过调整进化策略获得更好的结果。设$I$是由$\mu$个个体组成的种群，由CEP，FEP，LEP和SPMEP四种变异方式组成了一个变异算子集合，对每个个体定义一个混合策略向量$\rho$，该向量的每一个分量与变异算子集合中的变异方式一一对应，在进化过程中，在进化过程中，每个个体根据混合策略向量的值进行更新。

差分进化计算

差分进化计算与GA的主要不同点在于变异算子和交叉算子。差分进化计算中，每个基因位的改变值都取决于其他个体之间的差值。

Memetic算法

与传统优化算法相比有以下优点：

1. 不需要目标函数的导数，可以扩大算法的应用领域，尤其适合很难求导的复杂优化问题
2. 采用群体搜索策略，扩大了解的搜索空间，提高了算法的求解质量
3. 算法采用局部搜索策略，改善了种群结构，提高了算法的局部搜索能力
4. 算法提供了一种解决优化问题的方法，对于不同领域的优化问题，可以通过改变交叉，变异和局部搜索策略求解

GA求解案例1

求解目标函数的极小值
$$f(x)=20+[x_1^2-10\cos (2\pi x_1)]+[x_2^2-10\cos (2\pi x_2)],|x_i|\le 5.12,i=1,2$$

Code

function cbest = MLYGA(func, numvar, popsize, iter_max, pm, px, LB, UB)
% parameters check
% 默认设置变异概率为0.1
if isempty(pm)
    pm=0.1;
end
if isempty(px)
    px=0.9;
end
if isempty(iter_max)
    iter_max=5000;
end
if isempty(popsize)
    popsize=30;
end
pop=init(numvar, popsize, LB, UB); % 初始化函数
for i=1:popsize
    pop(i).fitness = func(pop(i).x);
end
cbest = pop(1);
cworst=pop(1);
[cbest, cworst, ~] = f(pop, 1, cbest, cworst); % 获得最优解和最差解
% 进行遗传迭代
for iter=1:iter_max
    pop = ca(pop); % 适应度值
    pop = s(pop);   % 选择
    pop = c(pop,px, LB, UB);   % 交叉
    pop = m(pop, pm, LB, UB, iter, iter_max); % 变异
    for i=1:popsize
        pop(i).fitness = func(pop(i).x);
    end
    [cbest, cworst, best] = f(pop, iter, cbest, cworst);
    pop(popsize) = best;
end
end

%----------------function:init-----------------------------初始化
function pop = init(numvar, popsize, LB, UB)
    for i=1:popsize
        pop(i).x=LB'+rand(1, numvar).*(UB-LB)';
    end
end

%----------------function:f--------------------------------解分离
function [cbest, cworst, best] = f(pop, iter, cbest, cworst)
    popsize = size(pop, 2);
    best = pop(1);
    worst = pop(1);
    % 迭代得到最优值和最坏值
    for i=2:popsize
        if pop(i).fitness<best.fitness
            best = pop(i);
        elseif pop(i).fitness>worst.fitness
            worst = pop(i);
        end
    end
    if iter==1
        cbest=best;
        cbest.index=1;
    else
        if best.fitness<cbest.fitness
            cbest = best;
            cbest.index=iter; % 记录在第几轮迭代得到了最优值
        end
    end
end

%--------------function:ca--------------------------------计算种群中个体的适应度
function pop = ca(pop)
    popsize = size(pop, 2);
    for i=1:popsize
        pop(i).index = -1;
    end
    for i=1:popsize
        index=1;
        for j=1:popsize
            if pop(j).fitness<pop(i).fitness && i~=j
                index = index+1;
            elseif pop(i).fitness==pop(j).fitness && pop(j).index~=-1&&i~=j
                index = index+1;
            end
        end
        pop(i).index=index;
    end
    al=0.6;
    for i=1:popsize
        pop(i).fitness = al*(1-al)^(pop(i).index-1);
    end
end

%--------------------function:select------------------------选择算子
function pop = s(pop)
    popsize = size(pop, 2);
    totalfit = zeros(1, popsize);
    for i=1:popsize
        if i==1
            totalfit(i) = pop(i).fitness;
        else
            totalfit(i) = totalfit(i-1)+pop(i).fitness;
        end
    end
    totalfit = totalfit/totalfit(popsize); % 归一化操作
    % 轮盘赌的方法选择，组成新的种群
    for i=1:popsize
        p = rand;
        index=1;
        while totalfit(index)<p
            index=index+1;
        end
        new(i)=pop(index);
    end
    pop=new;
end

%---------------------function:crossover---------------交叉算子
function pop=c(pop, px, LB, UB)
    popsize=size(pop, 2);
    ndim = length(pop(1).x);
    for i=1:popsize
        index = ceil(rand(1, 2).*popsize);
        if rand<px
            pos = ceil(rand.*ndim);
            v1 = pop(index(1)).x(pos);
            v2 = pop(index(2)).x(pos);
            % crossover
            pop(index(1)).x(pos)=rand*v2+(1-rand)*v1;
            pop(index(2)).x(pos)=rand*v1+(1-rand)*v2;
            pop(index(1)).x(pos)=b(pop(index(1)).x(pos), LB(pos), UB(pos));
            pop(index(2)).x(pos)=b(pop(index(1)).x(pos), LB(pos), UB(pos));
        end
    end
end

%--------------------function:mutation----------------变异算子
function pop=m(pop, pm, LB, UB, iter, iter_max)
    popsize = size(pop, 2);
    genelen=length(pop(1).x);
    for i=1:popsize
        for j=1:genelen
            if rand<pm
                v1 = pop(i).x(j)-UB(j);
                v2 = LB(j)-pop(i).x(j);
                fg = rand*(1-iter/iter_max)^2;
                if rand>0.5
                    pop(i).x(j)=pop(i).x(j)+v1*fg;
                else
                    pop(i).x(j)=pop(i).x(j)+v2*fg;
                end
                pop(i).x(j)=b(pop(i).x(j), LB(j), UB(j));
            end
        end
    end
end


%--------------------------function: b--------------------------边界检测
function y=b(x, LB, UB)
    if x>=UB
        y=LB+(x-UB);
    elseif x<=LB
        y=UB-(LB-x);
    else
        y=x;
    end
end

GA求解案例2

求解函数的极小值
$$\begin{array}{rl}& \min f(x,y)=100(y-x^2{)}^2+(1-x{)}^2\\ & s.t.\{\begin{array}{ll}& g_1(x,y)=-x-y^2\le 0\\ & g_2(x,y)=-x^2-y\le 0\\ & -0.5\le x\le 0.5,y\le 1\end{array}\end{array}$$
将其转为无约束问题求解

Reference

最优化方法及其MATLAB实现