小波变换第2讲：尺度函数与小波函数

小波变换系列
小波变换第1讲：Why wavelet？
小波变换第2讲：尺度函数与小波函数

前文小波变换第1讲：Why wavelet？介绍了FT以及STFT在时频分析方面的缺陷，本文将介绍小波变换的主体部分。

小波变换(WT)方面的不同书籍，涉及到的一些定义不尽相同，对理解小波造成了一些困扰。本文主要参考的是冈萨雷斯 数字图像处理 第3版第7章的有关内容。

本文中的尺度函数选取Haar函数。

1 尺度函数

尺度函数(scaling function)，通常记作$\varphi (t)$，又称为father wavelet。

1.1 Harr尺度函数

Harr尺度函数及图示如下：
$${\varphi }_{(}t)=\{\begin{array}{rl}1& ,0\le t<1\\ 0& ,otherwise\end{array}$$

对该函数进行缩放或平移：

该函数在不同的尺度$j,k(j=0,\pm 1,\pm 2,...;k=0,\pm 1,\pm 2,...)$缩放($2^j$)及平移($2^{-j}k$)，形成了一个集合 { ϕ j , k ( t ) } \{\phi_{j,k}(t)\} { ϕj,k​(t)}:

$${\varphi }_{j,k}(t)=2^{\frac{j}{2}}\varphi (2^{j}t-k)$$

这里$\frac{j}{2}$的作用是为了保持${\int }_a^b|f(t){|}^{2}dt$不变，即能量不变。

1.2 尺度函数构成的空间

尺度函数形成的子空间应该来说是小波变换中一个非常重要的性质。

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设空间$V_j$是由${\varphi }_{j,k}(t),k=0,\pm 1,\pm 2,...$在实数域内张成的空间，即：

$V_j$空间中的任一函数$f(t)$可表示为：

$$f(t)=\sum _{k\in Z}{a}_k{\varphi }_{j,k}(t)$$

1.3 尺度函数的性质

1.3.1 $V_j$空间的正交基

对于$V_j$空间的任一基函数，均满足：
$$⟨{\varphi }_{j,m}(t),{\varphi }_{j,n}(t)⟩=\{\begin{array}{rl}0& ,m!=n\\ 1& ,m=n\end{array}$$
可以看下1.1节Harr函数$\varphi (2t)$与$\varphi (2t-1)$，即${\varphi }_{1,0}(t)$、${\varphi }_{1,1}(t)$，二者积分为0，正交。

1.3.2 嵌套子空间

子空间在小波变换中非常重要。1.3.1正交基是定义在相同的尺度$j$，而本小节子空间是定义在不同的尺度$j$。

不同尺度j形成的空间之间的关系如图所示：
$$V_{-\infty }\subset \cdots \subset V_{-1}\subset V_0\subset V_1\subset V_2\subset \cdots \subset V_{\infty }$$

举例说明，$V_0$是$V_1$的一个子空间,即$V_0\subset V_1$，则$V_0$中的任一函数可由$V_1$中的基线性表示：

这样，对于任一函数$f(t)$，总能用尺度趋向于无限大的空间$V_{\infty }$中的基函数线性表示，即若$f(t)\in V_j$，
又因为$V_j\subset V_{\infty }$，则$f(t)$也必然$\in V_{\infty }$。

当然，我们不可能用$V_{\infty }$中的基函数表示，这涉及到效率和资源的问题。

有点类似AD转换中的逐次逼近法，先确定最高位，然后除2，不断确定次低位~

1.3.3 交空间和并空间

由1.2.2节嵌套子空间，可以得到下列性质：

• 交空间
  ⋂ j V j = V − ∞ = { 0 } \bigcap_jV_j=V_{-\infin}=\{0\} j⋂​Vj​=V−∞​={ 0}
• 并空间
  ⋃ j V j = V ∞ = { L 2 ( R ) } \bigcup_jV_j=V_{\infin}=\{L^2(R)\} j⋃​Vj​=V∞​={ L2(R)}
  $L^2(R):$平方可积函数空间,是指函数$f(x)\in R$,且$|f(x){|}^2$在$R$内可积，这样的函数构成的集合。

1.3.4 尺度函数递归等式

由1.3.2节，$V_j\subset V_{j+1}$，则:
${\varphi }_{j,k}(t)={\sum }_n{a}_n\cdot {\varphi }_{j+1,n}(t)$
又根据1.1节，
$$\begin{gathered} {\varphi }_{j,k}(t)=2^{\frac{j}{2}}\varphi (2^{j}t-k) \\ {\varphi }_{j+1,n}(t)=2^{\frac{j+1}{2}}\varphi (2^{j+1}t-n) \end{gathered}$$
令$j=0,k=0$，并用$h_{\varphi }(n)$替代$a_n$，有：

$\varphi (t)={\sum }_n{h}_{\varphi }(n)\sqrt{2}\varphi (2t-n)$

对于Haar小波尺度函数之间存在如下关系，详见下图：
$\varphi (t)=\sqrt{2}[\frac{1}{\sqrt{2}}\varphi (2t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\varphi (2t-1)]$

哈工大冉启文老师《小波变换与分数傅里叶变换理论及应用》将上述关系归纳为：

• 嵌套关系/单调性： $V_j\subset V_{j+1}$
• 唯一关系： ⋂ j V j = { 0 } \bigcap_jV_j=\{0\} ⋂j​Vj​={ 0}
• 稠密关系： ⋃ j V j = { L 2 ( R ) } \bigcup_jV_j=\{L^2(R)\} ⋃j​Vj​={ L2(R)}
• 伸缩关系：$f(x)\in V_j，则f(2x)\in V_{j+1}$

2 小波函数

小波函数(wavelet function)，通常记作$\psi (t)$，又称为mother wavelet。

小波函数与尺度函数有联系也有区别。

2.1 Harr小波函数

Harr小波函数及图示如下：
$${\psi }_{(}t)=\{\begin{array}{rl}1& 0\le t<\frac{1}{2},\\ -1& \frac{1}{2}\le t<1,\\ 0& otherwise.\end{array}$$

类似于尺度函数，小波函数在不同的尺度$j,k(j=0,\pm 1,\pm 2,...;k=0,\pm 1,\pm 2,...)$缩放($2^j$)及平移($2^{-j}k$)，形成了一个集合 { ψ j , k ( t ) } \{\psi_{j,k}(t)\} { ψj,k​(t)}:
$${\psi }_{j,k}(t)=2^{\frac{j}{2}}\psi (2^{j}t-k)$$

小波函数也可以进行缩放和平移：

2.2 小波函数构成的空间

设空间$W_j$是由${\psi }_{j,k}(t),k=0,\pm 1,\pm 2,...$在实数域内张成的空间，即：

$W_j$空间中的任一函数$g(t)$可表示为：

$$g(t)=\sum _{k\in Z}{b}_k{\psi }_{j,k}(t)$$

2.3 小波函数的性质

2.3.1 小波函数子空间之间的正交性

尺度函数子空间只针对同一尺度$j$、不同的平移系数$k$成立。

而小波函数子空间的正交性，则是针对所有尺度$j$(相同或不相同)、及不同平移系数$k$的小波函数。即：

$$⟨{\psi }_{j,k}(t),{\psi }_{j^{\prime },k^{\prime }}(t)⟩=0，当\{\begin{array}{rl}& j=j^{\prime },k\ne k^{\prime }\\ & j\ne j^{\prime }\end{array}$$
下图展示了${\psi }_{1,0}(t)$，与${\psi }_{0,0}(t)$即$\psi (t)$的正交关系。

2.3.2 小波函数与尺度函数空间的关系

2.3.2.1 正交补空间

尺度函数子空间$V_j$、小波函数子空间$W_j$与尺度函数$V_{j+1}$满足：

$V_{j+1}=V_j\oplus W_j$
$V_j$、$W_j$空间正交，即：

$⟨{\varphi }_{j,k}(t),{\psi }_{j,l}(t)⟩=0$，对所有$j,k,l$均成立。

2.3.2.2 子空间之间的关系

由于小波函数子空间及尺度函数子空间之间存在的正交关系，尺度函数空间$V_j$，可由起始尺度空间如$V_0$，与一系列低尺度的小波函数空间$W_{j-1}，W_{j-2}，...，W_1，W_0$的合成：

$V_2=V_1\oplus W_1=V_0\oplus W_0\oplus W_1$

推广之，
$$\begin{array}{rl}{V}_n& =V_{n-1}\oplus W_{n-1}\\ & =V_{n-2}\oplus W_{n-2}\oplus W_{n-1}\\ & =V_0\oplus W_0\oplus W_1\oplus ...\oplus W_{n-1}\\ & =V_{-\infty }\oplus W_{-\infty }\oplus ...\oplus W_{-1}\oplus W_0\oplus W_1\oplus ...\oplus W_{n-1}\end{array}$$

当然我们不可能从$-\infty$尺度开始，而往往选择从尺度为0的分辨率开始。

又由1.3.3节， V − ∞ = { 0 } V_{-\infin}=\{0\} V−∞​={ 0}，因此：
$V_n=\underset{j=-\infty }{\overset{n-1}{⨁}}{W}_k$

当$n\to \infty$时，由1.3.3节并空间的性质， V ∞ = { L 2 ( R ) } V_{\infin}=\{L^2(R)\} V∞​={ L2(R)}，故对于任意$f(x)\in L^2(R)$，均有：

$f(x)=v_0+\sum _{j=0}^{\infty }{w}_j$，其中$v_0\in V_0$，$w_j\in W_j$。

$L^2(R)$中的任意函数均可由小波正交空间中的函数线性表示。

2.3.3 小波函数递归等式

由$V_{j+1}=V_j\oplus W_j$，则$W_j$和$V_j$都是$V_{j+1}$的子空间。因此与1.3.4类似，小波函数也可由相邻的较高分辨率的尺度函数来线性表示：

$\psi (t)={\sum }_n{h}_{\psi }(n)\sqrt{2}\varphi (2t-n)$

ps: 为了博客更生动形象，使用了不少来自参考文献的图片，在此感谢。若有侵犯，请联系删除。

参考文献

[1] Why wavelet？
[2] 冈萨雷斯 数字图像处理 第3版
[3] http://math.bu.edu/people/mkon/ma717/L12HaarWavelet.pdf
[4] http://www.ws.binghamton.edu/fowler/EECE523/Ch_15_2%20Wavelet%20Example.pdf
[5] https://slideplayer.com/slide/7537671/
[6] https://mathworld.wolfram.com/HaarFunction.html
[7] 知乎：通过Haar小波认识离散小波变换
[8] 哈工大，冉启文，小波变换与分数傅里叶变换理论及应用