一、01背包问题
01背包字面意思来看0就是不拿，1就是拿，且每次只能拿一个物品放入背包。
两种做法：1.开二维数组 2.开一维数组
1.开二维数组的状态方程：
假设此情景为往固定容量的背包里装物品，使包内物品为最大价值
这个博主写的就很好理解 https://blog.csdn.net/weixin_43828245/article/details/86622480
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=weight;j++)
{
if(m[i]>j)//装不下
sum[i][j]=sum[i-1][j];
else//能装下
{
sum[i][j]=max(sum[i-1][j-p[i]]+m[i],sum[i-1][j]);
//比较装与不装的最大价值
}
}
}
printf("%d\n",sum[n][weight]);
实际上就是在每个物品的基础上，遍历所有可能的背包空间，如果放得下去就比较放与不放对价值的影响
2.开一维数组状态方程：
若剩余的容量能够装下该物品，则有两种情况，装或是不装；
若选择装，则sum[j]=sum[j-m[i]]+p[i];
若不装，则sum[j]=sum[j];
最终结果取两种情况的最大值：
sum[j]=max(sum[j],sum[j-m[i]]+p[i]);
(sum[j]表示容量不超过j时的最大价值)
转化为代码为：
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=weight;j>=0;j--)
{
if(j>=m[i])
sum[j]=max(sum[j],sum[j-m[i]]+p[i]);
}
}
printf("%d\n",sum[weight]);
这里还需要注意，01背包的一维数组表示，更新的时候是逆序的，从代码不难看出，对一个值的更新是基于这个值左边的值进行更新的，如果是顺序更新，那么在更新时一定会先更新左边的值，从而使得后更新的值有可能基础被更新过了，而逆序更新就可以避免这个问题。也可以这么说，因为01背包里面每个物品只能放一次，如果顺序更新，那么假设状态1已经放了一个物品了，那么基于状态1的状态2如果需要更新，那么不就变成了放两个物品了么，这不就出错了，所以应该需要逆序更新。（该段文字转载于https://blog.csdn.net/weixin_43849505/article/details/89423390）
下面是相关例题：
A - 高数Umaru系列（9）——哈士奇
二维AC代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int main()
{
int n,x,i,j;
int p[101],m[101];
int sum[101][1001]={
0};
while(~scanf("%d %d",&n,&x))
{
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d %d",&p[i],&m[i]);
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=x;j++)
{
if(p[i]>j)//手里的剩下的钱不够买
sum[i][j]=sum[i-1][j];
else//钱够买
{
int a1=sum[i-1][j-p[i]]+m[i];//选择买
int a2=sum[i-1][j];//选择不买
if(a1>a2)
sum[i][j]=a1;
else sum[i][j]=a2;
}
}
}
printf("%d\n",sum[n][x]);
}
return 0;
}一维AC代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int max(int a,int b)
{
return a>b?a:b;
}
int main()
{
int n,x,i,j;
int p[101],m[101];
while(~scanf("%d %d",&n,&x))
{
int sum[10001]={
0};
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d %d",&p[i],&m[i]);
for(i=0;i<n;i++)//遍历每一只哈士奇
{
for(j=x;j>=0;j--)//遍历剩下的每一块钱
{
if(j>=p[i])//当前剩的钱能够买下这只哈士奇
sum[j]=max(sum[j],sum[j-p[i]]+m[i]);
}
}
printf("%d\n",sum[x]);
}
return 0;
}
二、完全背包问题
完全背包问题和01背包问题都是相通的，区别就在于01不可以放多个同种物品而完全背包可以放多个同种物品。
在前面01背包讲一维化的地方说过，之所以逆序更新是防止放两个的情况出现，那么这里完全背包就正好利用了这一点，把01背包的逆序更新换成顺序更新，就可以解决放几个的问题了，把所有还可以放的状态都更新一遍，从左向右进行更新，如果前面的状态就已经放得下一个了，那么基于这个状态的另一个状态还可以再放一个，所以就基于上个状态继续更新，因而是正序更新。（该段文字转载于https://blog.csdn.net/weixin_43849505/article/details/89423390）
转化为代码：
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<=weight;j++)
{
if(j>=m[i])
sum[j]=max(sum[j],sum[j-m[i]]+p[i]);
}
}
printf("%d\n",sum[weight]);例题：
输入输出样例：
AC代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int max(int a,int b)
{
return a>b?a:b;
}
int main()
{
int n,i,j,x,k;
int s[3]={
150,200,350};
scanf("%d",&n);
int sum[10001];
for(k=0; k<n; k++)
{
scanf("%d",&x);
memset(sum,0,sizeof(sum));
for(i=0; i<3; i++)
{
for(j=0; j<=x; j++)//顺序更新
{
if(j>=s[i])
sum[j]=max(sum[j],sum[j-s[i]]+s[i])//比较
}
}
printf("%d\n",x-sum[x]);
}
return 0;
}