张量积型的Bernstein基函数
所谓张量积型,或者乘积型的二元空间是指,他的基函数可以由一元基函数通过张量积(乘积)得到.例如,我们考虑两个分量的次数分别不超过m和n次的二元多项式空间 P m , n P_{m,n} Pm,n,可以由两个一元多项式空间 P m P_m Pm和 P n P_n Pn的张量积得到,即 P m , n = P m ⨂ P n P_{m,n} = P_m \bigotimes P_n Pm,n=Pm⨂Pn.因此
a = s p a n { ( 1 , x , ⋯ , x m ) ⨂ ( 1 , y , ⋯ , y m ) } = s p a n { x i y j , i = 0 , 1 , ⋯ , m , j = 0 , 1 , ⋯ , n } \begin{aligned} a& = span{\left\{
{(1,x,\cdots,x^m)\bigotimes(1,y,\cdots,y^m)}\right\}} \\ & = span\left\{x^iy^j,i = 0,1,\cdots,m,j = 0,1,\cdots,n\right\} \end{aligned} a=span{
(1,x,⋯,xm)⨂(1,y,⋯,ym)}=span{
xiyj,i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n}
P m , n P_{m,n} Pm,n空间的基函数 x i y j ( i = 0 , 1 , ⋯ , m , j = 0 , 1 , ⋯ , n ) x^iy^j(i = 0,1,\cdots,m,j = 0,1,\cdots,n) xiyj(i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n)对应的矩阵结构,
1 x x 2 x 3 ⋯ y x y x 2 y x 3 y ⋯ y 2 x y 2 x 2 y 2 x 3 y 2 ⋯ y 3 x y 3 x 2 y 3 x 3 y 3 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ \begin{matrix} 1 & x & x^2 & x^3 & \cdots \\ y & xy & x^2y & x^3y & \cdots \\ y^2 & xy^2 & x^2y^2 & x^3y^2 & \cdots \\ y^3 & xy^3 & x^2y^3 & x^3y^3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{matrix} 1yy2y3⋮xxyxy2xy3⋮x2x2yx2y2x2y3⋮x3x3yx3y2x3y3⋮⋯⋯⋯⋯
因此可以称为矩形上的多项式空间.
由上可知,通过两组Bernstein基函数 B i m ( u ) B^m_i(u) Bim(u)和 B j n ( v ) B^n_j(v) Bjn(v)的张量积,就可以得到张量积型的二元Bernstein基函数
B i , j m , n ( u , v ) = B i m ( u ) B j n ( v ) , i = 0 , 1 , ⋯ , m , j = 0 , 1 , ⋯ , n B^{m,n}_{i,j} (u,v)= B^{m}_{i}(u)B^{n}_{j}(v),i = 0,1,\cdots,m,j = 0,1,\cdots,n Bi,jm,n(u,v)=Bim(u)Bjn(v),i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n
下图给了三个张量积型的双二次Bernstein基函数 B 0 , 0 2 , 2 ( u , v ) 、 B 1 , 0 2 , 2 ( u , v ) B^{2,2}_{0,0} (u,v)、B^{2,2}_{1,0} (u,v) B0,02,2(u,v)、B1,02,2(u,v) 和 B 1 , 1 2 , 2 ( u , v ) B^{2,2}_{1,1} (u,v) B1,12,2(u,v)在单位矩阵 [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] [0,1]\times[0,1] [0,1]×[0,1]上的图像.
二、相应的matlab程序
function bernstein_surf_bf
%bf: basis function基函数
%张量积型的bernstein基函数
a = 0;
b = 1;
N = 40;
M = 50;
hx = (b-a)/N;
hy = (b-a)/M;
x = (a:hx:b)'; %x:[0,1]区间N等分得到的向量
y = (a:hy:b)'; %y:[0,1]区间M等分得到的向量
n = 2;
m = 2;
z = f(x,y,n,m,1,1);
figure(1)
surf(x,y,z)
title('B^{2,2}_{1,1}');
end
function z = f(x,y,n,m,N,M) %n:n次bernstein基函数;m:m次bernstein基函数
[x,y] =meshgrid(x,y); %N:n次bernstein基函数中取B(n,N)
z = B(x,n,N).*B(y,m,M);
end
function y = B(x,n,i)
y = k(n,i).*(x.^i).*((1-x).^(n-i));
end
function y = k(n,i)
y1 = factorial(n); %n的阶乘
y2 = factorial(i)*factorial(n-i);
y = y1/y2;
end