deal.II Step-2教程笔记

引言

用于枚举基函数（形函数）的类称为DoFHandler。

要在网格上定义自由度，先要创建一个有限元对象，然后通过DoFHandler::distribute_dofs 函数传给DoFHandler。（distribute DoFs 代表了枚举基函数的过程。）DoFHandler 会提供总体装配信息。

稀疏矩阵

DoFHandler 默认以随机方式枚举自由度，因此相应的稀疏矩阵也是随机排列的。一般来说随机性不影响求解，但某些预处理例如SSOR在特定排列下会更快些。

程序

网格库

#include <deal.II/grid/tria.h>
#include <deal.II/grid/tria_accessor.h>
#include <deal.II/grid/tria_iterator.h>
#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
#include <deal.II/grid/manifold_lib.h>

把自由度关联到单元上的库

#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>

描述双线性单元（包括1至3维）的库

#include <deal.II/fe/fe_q.h>

处理自由度的若干工具

#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>

稀疏矩阵

#include <deal.II/lac/sparse_matrix.h>

动态（即瞬时）稀疏矩阵

#include <deal.II/lac/dynamic_sparsity_pattern.h>

重排列

#include <deal.II/dofs/dof_renumbering.h>

输出

#include <fstream>

命名空间

using namespace dealii;

网格生成

void make_grid(Triangulation<2> &triangulation)
{
    
    
  const Point<2> center(1, 0);
  const double   inner_radius = 0.5, outer_radius = 1.0;
  GridGenerator::hyper_shell(
    triangulation, center, inner_radius, outer_radius, 5);
  for (unsigned int step = 0; step < 3; ++step)
    {
    
    
      for (auto &cell : triangulation.active_cell_iterators())
        for (unsigned int v = 0; v < GeometryInfo<2>::vertices_per_cell; ++v)
          {
    
    
            const double distance_from_center =
              center.distance(cell->vertex(v));
            if (std::fabs(distance_from_center - inner_radius) < 1e-10)
              {
    
    
                cell->set_refine_flag();
                break;
              }
          }
      triangulation.execute_coarsening_and_refinement();
    }
}

创建DoFHandler。首先要创建一个拉格朗日单元FE_Q，它的唯一参数表示多项式次数，双线性为1。接着把它传给DoFHandler。

void distribute_dofs(DoFHandler<2> &dof_handler)
{
    
    
  const FE_Q<2> finite_element(1);
  dof_handler.distribute_dofs(finite_element);

然后考虑稀疏矩阵。存储非零元素位置的类是SparsityPattern。这个类有一个毛病，必须先给定单行最大存储数。二维时可以用DoFHandler::max_couplings_between_dofs()函数自动获取，但三维时总是会过分估计。为此我们可以用一个DynamicSparsityPattern，再复制到SparsityPattern里。DynamicSparsityPattern 需要输入矩阵大小。

DynamicSparsityPattern dynamic_sparsity_pattern(dof_handler.n_dofs(),
                                                dof_handler.n_dofs());

用自由度填充DynamicSparsityPattern。

DoFTools::make_sparsity_pattern(dof_handler, dynamic_sparsity_pattern);

最后曲线救国，把位置信息复制到SparsityPattern。

SparsityPattern sparsity_pattern;
sparsity_pattern.copy_from(dynamic_sparsity_pattern);

把SparsityPattern输出到图片。

std::ofstream out("sparsity_pattern1.svg");
sparsity_pattern.print_svg(out);