区块链重要基础知识3——曲线准备，域与环的概念

1.对域的概念理解^[2]：

• $n$个单位元相加＝0，符合这样条件的域称为特征为 $n$的域，而我们比较熟悉的数域单位元是1，无论多少个单位元1相加都不可能为0，所以数域是特征为0的域，一般强调特征为2的域就是说两个一样的数相加等于0的时候，不能直接认为这两个数等于0，因为在特征为2的域上两个单位元相加也是0^[3]

2.环：

具有两种运算：加法(+)和乘法，满足以下条件成立：

1. 对于加法构成一个交换群

2. （结合律）对任意的 $a,b,c \in R$，有 $(ab)c = a(bc)$;

3. (分配律)对任意的 $a,b,c \in R$，有
   $(a + b)c = ac + bc \\ and\space a(b + c) = ab + ac$

但是对乘法并没有交换律，满足交换律的叫做交换环: $ab=ba$

3.同态的相关概念^[1]

那么满射和函数之间是很类似的，之间的区别就是当函数在定义域到值域的时间就是满射，其他之外的情况就属于满射，而单射是属于那种一对一的情况

4.特征（关键核心内容）

设 $R$是一个环，如果存在一个最小整数 $p$使得对任意 $a \in R$，都有 $pa=a+...+a=0$，那么就称环的特征为 $p$，如果不存在这样的正整数，则称环 $R$的特征为0。

4.1同态定义

设 $R,R^{'}$是两个环，称映射 $f$： $R \to R^{'}$为环同态，如果 $f$满足以下条件：

1. $\forall a,b \in R;{\rm{exist \space f(a + b) = f(a) + f(b)}}$
2. $\forall a,b \in R;{\rm{exist \space f(ab) = f(a) f(b)}}$

如果 $f$映射是一对一的，那么 $f$就是单同态，如果是满射，那么就是满同态，如果一一对应的，两个环一样，那么就是同构。

4.2两个定理

1. 定理1
   1. 如果域 $K$的特征不为0，则其特征必为素数
2. 定理2
   1. 如果域 $K$的特征不为0，则其特征必为素数
   2. 设 $R$是有单位元的交换环，如果环R的特征是p，则：
      1. $\forall a,b \in R;{\rm{exist \space}}{(a + b)^p} = {a^p} + {b^p}$
      2. 环 $R$到自身的映射 $\sigma :a \mapsto {a^p}$
3. 相关证明如下：

参考文章

1.单射百度百科

2.信息安全数学基础.陈恭亮.10.1环&&10.3特征及素域
3.通俗的语言讲讲特征为2的域与特征不为2的域呀