计算下列对坐标的曲线积分:
(1)∮Lxydx,其中
L为圆周
(x−a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
(2)∮Γdx−dy+ydz,
其中
Γ为有向折线
ABCA,这里的
A,B,C依次为点
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);
(3)∫L(x+y)dx+(y−x)dy,其中
L是曲线
x=2t2+t+1,y=t2+1,从点
(1,1)到点
(4,2)的一段弧.
解:
(1)L由
L1(圆弧)和
L2(直线段)组成.
L1为有向半圆弧:
{x=a+acost,y=asint,
t从0变到
π;
L2为有向线段
y=0,x从
0变到
2a.于是
∮Lxydx=∫L1xydx+∫L2xydx=∫0πa(1+cost)⋅asint⋅(−asint)dt+0=−a3(∫0πsin2tdt+∫0πsin2tcostdt)=−a3(2π+0)=−2πa3.
(2)
Γ由有向线段AB,BC,CA依次连接而成,其中
AB:x=1−t,y=t,z=0,t从0变到1;BC:x=0,y=1−t,z=t,t从0变到1;CA:x=t,y=0,z=1−t,t从0变到1:
∫ABdx−dy+ydz=∫01[(−1)−1+0]dt=−2,∫BCdx−dy+ydz=∫01[0−(−1)+(1−t)⋅1]dt=∫01(2−t)dt=23,∫CAdx−dy+ydz=∫01(1−0+0)dt=1,
因此
∮Γdx−dy+ydz=−2+23+1=21.
(3)由
{2t2+t+1=1,t2+1=1
可得
t=0;
由
{2t2+t+1=4,t2+1=2
可得
t=1;
因此
∫L(x+y)dx+(y−x)dy=∫01[2t2+t+1+t2+1)⋅(4t+1)+(t2+1−2t2−t−1)⋅2t]dt=∫01(10t3+5t2+9t+2)dt=332.