利用二分法和牛顿法开根号

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问题描述

给定一个数，如何求它的平方根(不能使用内置函数，如sqrt()函数)。

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二分法

这是比较容易想到的一种方法。通过比较中间值与最终值的大小来改变中间值，最终在满足某个精度的情况下返回这个中间值作为最终结果。代码如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double MySqrt(double n)
{
    double _max = n; //此处一定为浮点数，不要用整数
    double _min = 0.0;
    double p = 1e-5; //此处为精度，当满足该精度时，返回该近似值
    double  mid = (_max + _min) / 2.0;
    while(fabs(mid * mid - n) > p)//此处是浮点数之差的绝对值与精度进行比较
    {
        if(mid * mid < n)
            _min = mid;
        else if(mid * mid > n)
            _max = mid;
        else
            return mid;
        mid = (_max + _min) / 2.0;
    }
    return mid;
}
int main()
{
    cout<<MySqrt(80)<<endl;
}

牛顿法

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设$r$是$f(x) = 0$的根，选取$x0$作为r初始近似值，过点$(x0,f(x0))$做曲线$y = f(x)$的切线$L$，$L$的方程为$y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)$，求出$L$与$x$轴交点的横坐标 $x1 = x0-f(x0)/f'(x0)$，称$x1$为$r$的一次近似值。

过点$(x1,f(x1))$做曲线$y = f(x)$的切线，并求该切线与$x$轴交点的横坐标 $x2 = x1-f(x1)/f'(x1)$，称$x2$为$r$的二次近似值。重复以上过程，得$r$的近似值序列，其中$x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))$，称为$r$的$n+1$次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

而开根号的问题可以看作求解$f(x) = x^2 - a = 0$的根。

(1)在曲线$f(x)=x^2-a$上任取一点$(x0,f(x0))$，$x0≠0$，该点的切线方程为：

$$f(x_{n+1})-f(x_n)=f^{'}(x_n)(x_{n+1}-x_n)$$
(2)该切线与x轴的交点为：
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)}=\frac{(x_n+\frac{a}{x_n})} {2}$$

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double MySqrt(double n)
{
    double x = 1.0;//设置初值
    double p = 1e-5;//设置精度
    while(fabs(x*x - n) > p)
    {
        x = (x + n / x) / 2.0;
    }
    return x;
}
int main()
{
    cout<<MySqrt(82)<<endl;
}