Алгоритм Разработка и анализ [0009] Динамическое программирование (II) (Максимальная сумма / подмассив продукта)

Стенографический https://www.dazhuanlan.com/2019/08/25/5d625b5c4d1ea/

　Эта статья 53. Максимальная подмассив и 152. Подмассив Максимальный продукт расщепляется и суб-решение проблем: анализ ключ к решению проблемы динамических идей программирования.

описание проблемы

• Две проблемы решить подобные проблемы решаются с последовательностью последовательности, приведенной для удовлетворения определенных математических характеристик (максимальные и / продукта максимума), даже если не требуется выходную последовательность.

• Ключевая фраза обратить внимание: containing at least one numberтак что есть по крайней мере , данные элементы последовательности, которые также могут вдохновить нас в качестве специального лечения.

53. Максимальная подмассив решения проблем идеи

• А мысль: $ сумма [J] $ является крупнейшим подфрагментом до J элементов последовательности и подзадач, чтобы решить, как, за $ суммы [п] $, по сравнению с ответом. Тем не менее, как использовать $ суммы [1, 2, ..., J-1] $ до $ суммы [J] $ решить эту проблему? Очевидно, что необходимо знать максимальное поле и бывшие J-элементный начальный и конечный подфрагмент позиции, решая проблему субгосударственного перехода явно сложнее.
• Поместите это еще одна мысль. Две идей: $ суммы [J] $ являются максимальными подотрезками с первым концом -го элемента детского подотрезка и решения проблем, $ Max_ {1 Leq J Leq п} (суммы [у]) $ являются всем и самые крупные последовательности суб-сегмента. Через $ суммы [J-1] $ $ текущий элемент и НУМС [J] , можно вычислить по $ -го элемента наибольший суб-сегмент и заканчивая $ суммы [J] $, 状态转移方程следующим образом :
  . $$ суммы [J + 1 ] = {начинаются случаи} НУМС [ J + 1] , суммы [J] 0 Lt кр суммы [J] + НУМС [J + 1] другие случаи {конец} $$
• Две идеи, 53. Максимальная подмассив ответить следующее:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

класс { общественности : INT maxSubArray ( вектор < INT > & НУМС) { INT SizeofNums = nums.size (); если (SizeofNums == 1 ) { возврата НУМС [ 0 ]; } INT суммы [SizeofNums]; суммы [ 0 ] = НУМС [ 0 ]; для ( Int я = 1 ; г <SizeofNums; я ++) { сумм [I] = [сумм я -1 ] < 0 ? НУМС [I]: суммы [я -1 ] + НУМС [I]; } INT largestSum = сумма [ 0 ]; для ( INT I = 1 ; г <SizeofNums; я ++) { если (largestSum <суммы [я]) { largestSum = суммы [I]; } } Вернуть largestSum; } };

• Для того , чтобы получить largestSumпоследовательности , соответствующие переменной , что мы можем startIdxзаписать J-й элемент в конец ( endIdxисходное положение) , а максимальная подсегмент соответствующих суб-последовательностей, $ НУМС [startIdx, ..., endIdx] $ представляет собой соответствующую последовательность; Кроме того, принимая во внимание текущее состояние и предыдущее состояние только соответствующий , он может быть использован вместо переменных массива, сохранить память, избегая при этом получать The largest sum of the whole arrayповторные циклы времени.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

класс решений { общественности : INT maxSubArray ( вектор < INT > & НУМС) { INT SizeofNums = nums.size (); если (SizeofNums == 1 ) { возврата НУМС [ 0 ]; } // крупная сумма для подмассива заканчивая текущим элементом ИНТ curSum = НУМС [ 0 ]; // крупная сумма подмассива для всего массива INT largestSum = curSum; // подмассив [startIdx, endIdx] с наибольшей суммой для всего массива INT startIdx = 0 , endIdx = 0 ; для ( INT I = 1 ; г <SizeofNums; я ++) { если (курсор < 0 ) { курсор = НУМС [I]; startIdx = я; } Else { курсор скорость + = НУМС [I]; } Если (литниковой> largestSum) { largestSum = скорость; endIdx = я; } } Return largestSum; } };

152. Максимальный продукт подмассив решения проблем идеи

• Процесс решения проблем по существу аналогична предыдущему вопросу, но основная проблема должна быть решена заключается в следующем: переходное состояние, то есть, как (макс продукт с J-го элемента является концом суб-сегмента) рассчитывается на основе ответов на суб-проблемы результаты текущей подзадачи.
• 从上一题的分析可以看出，当前子问题（以第 j 个元素为结尾的子段的max sum）的计算只需考虑上一个子问题的结果 $sum[j-1]$，$sum[j-1] < 0$，因为是加法，显然可以将子问题结果忽略；$sum[j-1] > 0$，$sum[j-1]$ 加上当前元素就是当前子问题的结果。
• 类似的问题，只不过换成乘积，子问题的求解就变得复杂了，需要考虑以下几种情况：
  • 当前元素是正数，max product可能是正正得正的情况，因为都是整数，乘积＞1，上一子问题的结果乘上当前元素即为当前子问题的答案
  • 当前元素是负数，max product可能是负负得正的情况，因此需要维护以第 j 个元素为结尾的子段的min product（很大可能是负数）
  • 另外，需要考虑上一个子问题的结果为0的情况
  • 总之，乘积的最大值为上述三种情况之一
    状态转移方程如下：
    $$ maxProducts[j+1] = max(maxProducts[j-1]*nums[j], minProducts[j-1]*nums[j], nums[j])$$
• 152. Maximum Product Subarray 解答如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

class Solution { public: int maxProduct(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size(); if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } // The largest/least product of subarray ending with the i-th element int maxProducts[SizeofNums]; int minProducts[SizeofNums]; maxProducts[0] = minProducts[0] = nums[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { // positive with positive, negative with negative, ignore previous zero maxProducts[i] = max( max(maxProducts[i-1]*nums[i], minProducts[i-1]*nums[i]), nums[i]); // positive with negative, negative with positive, ignore previous zero minProducts[i] = min( min(maxProducts[i-1]*nums[i], minProducts[i-1]*nums[i]), nums[i]); } // getting the largest product for the whole array int largestProduct = maxProducts[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { if(maxProducts[i] > largestProduct) { largestProduct = maxProducts[i]; } } return largestProduct; } };

• 与上一题类似，添加额外变量，也能实现节省内存，记录子段最大乘积对应子段（$nums[startIdx, endIdx]$）的起始和终止位置。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

class Solution { public: int maxProduct(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size(); if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } // The largest/least product of subarray ending with the i-th element int largestProduct = nums[0]; int leastProduct = nums[0]; // The largest product for the whole array int maxProduct = largestProduct; // subarray[startIdx, endIdx] with largest product for the whole array int startIdx = 0, endIdx = 0; // start index for largestProduct/leastProduct int startIdx_pos = startIdx, startIdx_neg = startIdx; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { int largestProduct_pre = largestProduct; int leastProduct_pre = leastProduct; // positive with positive, negative with negative, ignore previous zero largestProduct = max( max(largestProduct_pre*nums[i], leastProduct_pre*nums[i]), nums[i]); if((largestProduct_pre != nums[i]) && (largestProduct == nums[i])) { startIdx_pos = i; } // positive with negative, negative with positive, ignore previous zero leastProduct = min( min(largestProduct_pre*nums[i], leastProduct_pre*nums[i]), nums[i]); if((leastProduct_pre != nums[i]) && (leastProduct == nums[i])) { startIdx_neg = i; } if(largestProduct > maxProduct) { maxProduct = largestProduct; if(largestProduct_pre*nums[i] > leastProduct_pre*nums[i]) { startIdx = startIdx_pos; } else { startIdx = startIdx_neg; } endIdx = я; } } Вернуть maxProduct; } };