Гомоморфизм китайской теоремы об остатках (гомоморфизм преобразования ЭЛТ)

1. Введение в китайскую теорему об остатках (CRT)

Китайская теорема об остатках описывает метод решения системы линейных конгруэнтных уравнений с одной переменной. Формальное описание: $m_1,m_2,m_n$ являются попарно простыми целыми числами и имеют следующие уравнения сравнения:
$\left \{ \begin{array}{lr} x\equiv a_1 \mod m_1& \\ x \equiv a_2 \mod m_2\\ ... \\ x\equiv a_n \mod m_n & \end {array} \right. ( m_1,m_2,\cdots,m_n) попарно простое число$
Теперь определим $M=\prod_{i=1}^{n}m_i$ ， $mim^\prime_i=\frac{M}{m_i}$ , очевидно, $M_i$ 是整数。
令 $t_im^\prime_i\equiv 1 \mod m_i$
Тогда решением системы уравнений сравнения будет
$x\equiv \sum_{i=1}^{n} a_it_im^\prime_i \mod M$

Вот несколько примеров:

a равно [0, 2, 4, 0]
m равно [5, 7, 9, 11]
$m^\prime$ равно [693, 495, 385, 315]
t равно [2, 3, 4, 8]

a равно [1, 5, 5]
m равно [5, 7, 9]
$m^\prime$ равно [63, 45, 35]
t равно [2,5, 8]

a равно [2, 5, 7, 18]
m равно [5, 7, 11, 19]
$m^\prime$ равно [1463, 1045, 665, 385]
t равно [2 4 9 4]

2. ЭЛТ-преобразование гомоморфно.

Преобразование CRT имеет аддитивные и мультипликативные гомоморфизмы.
Мы предполагаем, что $\mathbf{m}=[m_1,m_2,\cdots,m_n]$ , элементы которого попарно просты.
Домен $Z_M=[0,1,2,\cdots, M]$ ,其中 $M=\prod_{i=1}^{n}m_i$
Тогда $З_М$ Элементы в могут иметь $Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times \cdots \times Z_{m_n}$ Элементы представлены однозначно.
От $Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times \cdots \times Z_{m_n}$ в $З_М$ Трансформация — это трансформация crt, а противоположное направление — трансформация icrt.
Мы используем вектор для представления $Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times \cdots \times Z_{m_n}$ элементы в . Значение i-го измерения равно модулю $m_i$ из.

令 $\in Z_M$ ， $\mathbf{a}=\mathbf{icrt}(x)$ , $\mathbf{b}=\mathbf{icrt}(y)$
дополнение

если $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ，其中 $c_i=(a_i+b_i) \mod m_i$

Мы говорим, что китайская теорема об остатках имеет аддитивный гомоморфизм, выражаемый как:
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{c}) \mod M$

Доказательство:
с тех пор, как $\gt 2$ можно уменьшить до $н "=" 2$ , поэтому следующее доказывает только то, что $\mathbf{m}=[m_1,m_2]$ ситуация. ( $k_1,k_2,\cdots$ указывает целое число)

Из китайской теоремы об остатках мы знаем, что
$x=a_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_1m_1m_2$ ,
$y=b_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_2m_1m_2$ .

$x+y=(a_1+b_1) t_1m^\prime_1+(a_2+b_2)t_2m^\prime_2 + (k_1+k_2)m_1m_2$

$c_1=a_1+b_1+k_3m_1,c_2=a_2+b_2+k_4m_2$
所以
$\mathbf{crt}(c)=k_3m_1t_1m^\prime_1+ k_4m_2t_2m^\prime_2+x+y+k_5m_1m_2$
И $m^\prime_1=m_2,m^\prime_2=m_1$
所以 $\mathbf{crt}(c)=(k_3t_1+k_4t_2+k_5)m_1m_2+x+y$
即
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{c}) \mod M$

Умножение
определяет $\mathbf{d}=x*y$ ，其中 $d_i=x_iy_i \mod m_i$

Тогда китайская теорема об остатках обладает мультипликативным гомоморфизмом. Выражается как:
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{d}) \mod M$

证明:
$x*y=(a_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_1m_1m_2)(b_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_2m_1m_2)$
м $м_1м_2$ Множественная замена
$x*y=a_1b_1t_1^2m_1^{\prime2 } +a_2b_2t_2^2m_2^{\prime2}+k_3m_1m_2$
由于 $t_1m_1^\prime\equiv 1 \mod m_1,t_2m_2^\prime \equiv 1 \mod m_2$
有
$x*y=a_1b_1t_1m_1^\prime+a_2b_2t_2m_2^\prime+k_5m_1m_2$
Согласно предыдущему доказательству мы знаем, что
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{d}) \mod M$

Ниже приведен код crt на Python и его обратное преобразование icrt, который читателям удобно проверить:

import gmpy2
import numpy as np

#the elements in bases should be co-prime
def crt(a,bases):
    bases=np.array(bases,dtype=gmpy2.mpz)
    M=np.prod(bases)
    m_prime=[np.prod(bases[bases!=bases[i]]) for i in range(len(bases))]
    b=[gmpy2.invert(m_prime[i],bases[i]) for i in range(len(bases))]
    res=gmpy2.mpz(0)
    for i in range(len(bases)):
        res=(res+a[i]*b[i]*m_prime[i])%M
    res=np.array(res,dtype=int)
    return res,M

def icrt(r,bases):
    res=[r%bases[i] for i in range(len(bases))]
    return res