Геодезия заключается в нахождении кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности трехмерного объекта. Области применения геодезических линий довольно широки, например, для проектирования водных путей самолетов и кораблей. Прежде всего, мы знаем, что отрезок линии между двумя точками на двумерной плоскости является самым коротким, но если вы измените его на трехмерный, этого нельзя будет достичь, потому что вы не можете проникнуть в объект, чтобы найти кратчайшее расстояние. Следовательно, мы должны найти способ найти кратчайшее расстояние на поверхности. Поскольку изогнутая поверхность немного абстрактна и есть много путей, которые заставляют людей чувствовать себя громоздкими, кажется, что ее трудно найти.
На самом деле, представьте лист бумаги (при условии, что его толщина незначительна). Вы можете либо сгладить его, чтобы сделать его абсолютно двухмерным, либо сложить его в разные формы, чтобы сделать его в трехмерном состоянии. Если вы подумаете об этом так, все станет проще. Предполагая, что ваша бумага, независимо от толщины, находится в плоском состоянии и есть две точки на бумаге в разных положениях, вы можете легко найти кратчайшее расстояние между двумя точками. Затем вы складываете бумагу в разные формы.Хотя лица в это время разные, кратчайшее расстояние между двумя точками по-прежнему остается исходной линией: потому что область лица остается неизменной независимо от того, как она сложена.
Таким образом, ключом к поиску геодезической линии является этап преобразования поверхности в плоскость. Термин в математическом анализе называется параметризацией, поэтому я не буду его подробно объяснять. После параметризации поверхности в двумерную поверхность, мы можем получить производную расчетным путем и, наконец, преобразовать двумерное обратно в трехмерное.
Выражение математического языка
Уравнение геодезии
В римановом многообразии M с метрическим тензором g длина L непрерывно дифференцируемой кривой γ: [ a , b ] → M определяется равенством
Другой эквивалентный способ определения геодезических на римановом многообразии - определить их как минимум следующего действия или функционала энергии
Тогда уравнения движения Эйлера – Лагранжа для функционала E задаются в локальных координатах формулой
где
символы Кристоффеля метрики
- символы Кристоффеля метрики. Это геодезическое уравнение.
Геометрическое интуитивное выражение
Парафраз
1.ADJ, относящийся к геометрии криволинейных поверхностей или связанный с ней 曲面 几何学 的 (см. Также геодезические, геодезические)
2.N самая короткая линия между двумя точками на изогнутой или плоской поверхности 短程 线 (также называется геодезической линией)
Существование бесконечных замкнутых геодезических компактного неодносвязного риманова многообразия.
Есть ли проблема с существованием бесконечно большого числа замкнутых геодезических линий на компактном несвязном римановом многообразии?
Geodesics on smooth surface have many good geometric properties and there are equivalent partial differential equations and analytical methods solving it.
测地线在光滑曲面上有很好的几何性质，也有相应的测地线偏微分方程表达以及一些解析的方法来求解。
参考资料
Geodesic Deviation：https://ion.uwinnipeg.ca/~vincent/4500.6-001/Cosmology/GeodesicDeviation.htm
https://www.zhihu.com/question/22274518/answer/42849207
https://www.markushanke.net/tag/geodesic-equation/