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fórmula de indução
- As funções trigonométricas dos ângulos agudos são simples e fáceis de encontrar (fáceis de expressar)
- Para qualquer ângulo, existem certas relações entre suas diversas funções trigonométricas que precisam ser discutidas.
- A fórmula mais básica e comumente usada para induzir funções trigonométricas
Mesmos ângulos finais
- No sistema de coordenadas cartesianas, α , α + 2 k π \alpha,\alpha+2k\pium ,a+2 kπ ,k ∈ K k\in\mathbb{K}k∈Se os lados terminais de K forem iguais, eles são definidos por funções trigonométricas.É fácil saber que as duas funções trigonométricas são iguais.
- cos ( α + 2 k π ) = cos α \cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alphaporque ( um+2 kp )=porquea
- sin ( α + 2 k π ) = sin α \sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alphapecado ( um+2 kp )=pecadoa
- tan ( α + 2 k π ) = tan α \tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alphabronzeado ( um+2 kp )=bronzeadoa
Internalização de funções trigonométricas para qualquer ângulo
- De acordo com a relação entre as funções trigonométricas dos mesmos ângulos terminais, todos os valores absolutos excedem um ciclo ( 2 π 2\pi2 π ou− 2 π -2\pi− 2 π ) pode ser convertido em um valor absoluto menor que2 π 2\piÂngulo 2 π para calcular
Ângulo oposto
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Sobre xxÂngulo simétrico em relação ao eixo x
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um \alfaO ângulo oposto de α é− α -\alpha- um
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Obviamente, os lados terminais de ângulos opostos são cerca de xxO eixo x é simétrico. De acordo com a definição de funções trigonométricas, temos
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cos ( − α ) \cos(-\alpha)cos ( − α ) =cos α \cos\alphaporquea
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pecado ( − α ) \ pecado (-\ alfa)sin ( − α ) =− sin α -\sin\alfa-pecadoa
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bronzeado ( − α ) \tan(-\alpha)tan ( − α ) =sin ( − α ) / cos ( − α ) \sin(-\alpha)/\cos(-\alpha)pecado ( -α ) / _cos ( − α ) =− tan α -\tan\alpha-bronzeadoa
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resumo
- cos α \cos\alfaporqueα é uma função par, esin α , tan α \sin\alpha,\tan\alphapecadoum ,bronzeadoα é uma função ímpar
Normalização de ângulo negativo de qualquer ângulo
- A partir da conclusão de ângulos opostos, qualquer ângulo negativo pode ser convertido em um ângulo positivo para calcular e expressar
- Por exemplo cos ( − π 4 ) \cos(-\frac{\pi}{4})porque ( -4p) =cos π 4 \cos\frac{\pi}{4}porque4p; sin ( − 7 π 3 ) \sin(-\frac{7\pi}{3})pecado ( -319h _) =− sin 7 π 3 -\sin\frac{7\pi}{3}-pecado319h _, tan ( − π 3 ) \tan(-\frac{\pi}{3})bronzeado ( -3p) =− tan π 3 -\tan\frac{\pi}{3}-bronzeado3p
Ângulo de simetria de origem
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Ângulo α \alfaO lado inicial de α é xxNo sistema de coordenadas retangulares do eixo x positivo ,α \alphaO ângulo correspondente ao lado terminal de α em relação ao lado terminal da origem é expresso como α + ( 2 k + 1 ) π \alpha+(2k+1)\pia+( 2k _+1 ) πψα + ( 2 k − 1 ) π \alpha+(2k-1)\pia+( 2k _-1 ) π ,k ∈ Z k\in\mathbb{Z}k∈Z ; Vamos chamar esse tipo de ângulo deα \alphaO ângulo de simetria de origemde α
- Em [ 0 , 2 π ) [0,2\pi)[ 0 ,α \alphadentro de 2 π )O lado terminal de α é simétrico em relação à origem e é expresso comoα ± π \alpha\pm{\pi}a±Pi
- Então, de acordo com a fórmula para gerar ângulos com o mesmo lado terminal, obtemos a expressão para o ângulo simétrico na origem.
- Os sinais das coordenadas dos pontos nas duas arestas terminais que são simétricos em relação à origem são invertidos.
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um \alfaO ângulo de simetria entre α e sua origemα + ( 2 k + 1 ) π \alpha+(2k+1)\pia+( 2k _+1 ) Relação da função trigonométrica de π :
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cos ( α + ( 2 k + 1 ) π ) \cos(\alpha+(2k+1)\pi)porque ( um+( 2k _+1 ) π ) =− cos α -\cos\alfa-porquea
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sin ( α + ( 2 k + 1 ) π ) \sin(\alpha+(2k+1)\pi)pecado ( um+( 2k _+1 ) π ) =− sin α -\sin\alfa-pecadoa
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tan ( α + ( 2 k + 1 ) π ) \tan(\alpha+(2k+1)\pi)bronzeado ( um+( 2k _+1 ) π ) =tan α \tan\alphabronzeadoa
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Qualquer ângulo de nitidez
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Seja o conjunto dos números ímpares N 1 = { 2 k ∣ k ∈ Z } N_1=\set{2k|k\in{\mathbb{Z}}}N1={ 2k_ _∣k∈Z} , o conjunto de números pares éN 2 = { 2 k + 1 ∣ k ∈ Z } N_2=\set{2k+1|k\in\mathbb{Z}}N2={ 2k_ _+1∣k∈Z}
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pecado ( α + k π ) \ pecado (\ alfa + k \ pi)pecado ( um+kπ ) ={ − sin α k ∈ N 1 sin α k ∈ N 2 \begin{cases}-\sin\alpha&k\in{N_1}\\ \sin\alpha&k\in{N_2}\end{cases}{ -pecadoapecadoak∈N1k∈N2
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cos ( α + k π ) \cos(\alpha+k\pi)porque ( um+kπ ) ={ − cos α k ∈ N 1 cos α k ∈ N 2 \begin{cases}-\cos\alpha&k\in{N_1}\\ \cos\alpha&k\in{N_2}\end{cases}{ -porqueaporqueak∈N1k∈N2
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tan ( α + k π ) \tan(\alpha+k\pi)bronzeado ( um+kπ ) =tan α \tan\alphabronzeadoα ,k ∈ Z k\in\mathbb{Z}k∈Z
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Após a análise e discussão acima, pode-se observar que qualquer ângulo pode ser transformado em α + k π \alpha+k\pia+kπ ,( ∣ α ∣ ⩽ π 2 ) (|\alpha|\leqslant\frac{\pi}{2})( ∣ α ∣⩽2p) formulário
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Então de acordo com α , − α \alpha,-\alphaum ,− A relação da função trigonométrica de α é posteriormente transformada em[ 0 , π 2 ] [0,\frac{\pi}{2}][ 0 ,2p] para representar e calcular funções trigonométricas de ângulo agudo
resumo
- Os primeiros três conjuntos de fórmulas acima: (três relacionamentos de arestas terminais correspondem a três conjuntos de fórmulas)
- Mesmos ângulos finais
- Ângulo oposto
- Ângulo de simetria de origem
- Chamadas coletivamente de fórmulas induzidas , as fórmulas podem ser raciocinadas e memorizadas com a ajuda da aresta terminal de qualquer ângulo.
- A fórmula de indução pode ser usada para encontrar o valor de uma função trigonométrica ou simplificar uma função trigonométrica.
ângulo complementar
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Dois ângulos são complementares ( α , π − α ) (\alpha,\pi-\alpha)( uma ,Pi-α ) , então seus lados terminais são aproximadamenteyysimetria do eixo y
- π − α \pi-\alfaPi-α pode ser visto como− α + π -\alpha+\pi- um+π , isto é, primeiro sobrexxDesenhe− α -\alpha simetricamente em torno do eixo x− α aresta final, e então faça− α -\alpha− α é simétrico em relação à origem− α + π -\alpha+\pi- um+Pi
- Pressione α \alpha respectivamenteQuando o lado terminal de α está em quatro quadrantes, fica provado que a mesma conclusão pode ser obtida: α , π − α \alpha,\pi-\alphaum ,Pi-αSobre yy_simetria do eixo y
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Conhecido α \alphaα ,π − α \pi-\alfaPi-α são ângulos complementares, entãosin ( π − α ) \sin(\pi-\alpha)pecado ( p.-α ) =pecado α \ pecado \ alfapecadoum ? cos ( π − α ) \cos(\pi-\alpha)porque ( p-α ) =− cos α -\cos\alfa-porquea
- ondeπ − α \pi-\alphaPi-α é equivalente aα \alphaαSobre xx_Após simetria no eixo x , então simetria em relação à origem
- sin ( π − α ) \sin(\pi-\alpha)pecado ( p.-α ) =− sin ( − α ) -\sin(-\alpha)-sin ( − α ) =− ( − sin α ) -(-\sin\alpha)− ( −pecadoα ) =pecado α \ pecado \ alfapecadoa
- Da mesma forma, cos ( π − α ) \cos(\pi-\alpha)porque ( p-α ) =− cos ( − α ) -\cos(-\alpha)-cos ( − α ) =− cos α -\cos\alfa-porquea
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Resumindo, os valores dos senos de dois ângulos complementares são iguais e os valores dos cossenos são opostos entre si.
π 2 \ frac{\pi}{2}2pFunções trigonométricas relacionadas a expressões angulares
- Fórmula (as duas últimas podem converter α \alpha nas duas primeirasα é substituído por− α -\alfa− α é obtido,5 ∼ 8 5\sim{8}5∼8 pode ser obtido diretamente da relação de proporção entre cada uma e as duas primeiras fórmulas)
- cos ( α + π 2 ) \cos(\alpha+\frac{\pi}{2})porque ( um+2p) =− sin α -\sin\alfa-pecadoum ?
- sin ( α + π 2 ) \sin(\alpha+\frac{\pi}{2})pecado ( um+2p) =cos α \cos\alfaporquea
- cos ( − α + π 2 ) \cos(-\alpha+\frac{\pi}{2})cos ( - uma+2p) =pecado α \ pecado \ alfapecadoum ?
- sin ( − α + π 2 ) \sin(-\alpha+\frac{\pi}{2})pecado ( - a+2p) =cos α \cos\alfaporquea
- bronzeado ( α + π 2 ) \tan(\alpha+\frac{\pi}{2})bronzeado ( um+2p) =− berço α -\cot{\alpha}-berçoa
- berço ( α + π 2 ) \cot(\alpha+\frac{\pi}{2})berço ( um+2p) =− tan α -\tan\alfa-bronzeadoa
- bronzeado ( − α + π 2 ) = berço α \tan(-\alpha+\frac{\pi}{2})=\cot{\alpha}bronzeado ( - uma+2p)=berçoa
- berço ( − α + π 2 ) \cot(-\alpha+\frac{\pi}{2})berço ( - uma+2p) =bronzeado α \tan\alfabronzeadoa
α , α + π 2 \alpha,\alpha+\frac{\pi}{2}um ,a+2p
- Discuta α \alphaα和α + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2}a+2prelação de função trigonométrica, usamos
- As coordenadas do ponto de intersecção do lado terminal e do círculo unitário (as coordenadas horizontal e vertical refletem respectivamente o ângulo α \alphaseno e cosseno de α )
- E a linha reta y = ± xy=\pm x no sistema de coordenadas cartesianassim=± xauxiliar (transição)
- P ( x , y ) P(x,y)P ( x ,y )和Q ( y , x ) Q(y,x)Q ( você ,x ) em relação ay = xy=xsim=xsimetria _
- Por exemplo (2, 1) (2,1)( 2 ,1 ) ,( 1 , 2 ) (1,2)( 1 ,2 ) ; também como( 1 , − 2 ) (1,-2)( 1 ,− 2 ) ,( − 2 , 1 ) (-2,1)( -2 , _1 )
- P ( x , y ) P(x,y)P ( x ,y )和Q ( − y , − x ) Q(-y,-x)Q ( − y ,− x ) sobrey = − xy=-xsim=−xsimetria _ _
- Por exemplo ( 2 , 1 ) , ( − 1 , − 2 ) (2,1),(-1,-2)( 2 ,1 ) ,( -1 , _− 2 ) ; também como( 1 , − 2 ) (1,-2)( 1 ,− 2 ) ,( 2 , − 1 ) (2,-1)( 2 ,−1 ) _
- P ( x , y ) P(x,y)P ( x ,y )和Q ( y , x ) Q(y,x)Q ( você ,x ) em relação ay = xy=xsim=xsimetria _
- Relações coordenadas de pontos simétricos em relação aos eixos coordenados
- P ( x , y ) , Q ( x , − y ) P(x,y),Q(x,-y)P ( x ,e ) ,Q ( x ,− y ) sobrexxsimetria do eixo x
- P ( x , y ) , Q ( − x , y ) P(x,y),Q(-x,y)P ( x ,e ) ,Q ( -x , _y ) Sobreyysimetria do eixo y
- Na verdade, α\alfaα pode ser transformado emα + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2}através de duastransformações de simetria axiala+2p
- Seja α \alfaO lado terminal α e o círculo unitário se cruzam no pontoP ( cos α , sin α ) P(\cos\alpha,\sin\alpha)P ( cosum ,pecadoa )
- Tome α\alfaDiscussão do ângulo do primeiro quadrante da fórmula α como exemplo
- A primeira transformação de simetria axial é sobre a linha reta y = xy=xsim=x , as novas coordenadas obtidas são denotadas comoMMM , por simetria podemos saberM ( sin α , cos α ) M(\sin\alpha,\cos\alpha)M ( pecadoum ,porqueα ) , aresta terminalOM OMO ângulo correspondente de OM : ( π 2 − α ) + 2 k π , k ∈ Z (\frac{\pi}{2}-\alpha)+2k\pi,k\in\mathbb{Z}(2p-a )+2 kp ,k∈Z
- A segunda transformação de simetria axial é sobre x = 0 x=0x=0 , as novas coordenadas obtidas sãoNNN , porNNN eMMM em relação ax = 0 x=0x=0 simetria, entãoN ( − sin α , cos α ) N(-\sin\alpha,\cos\alpha)N ( -pecadoum ,porquea ) ;角α + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2}a+2pA borda do terminal está ON ONON ,N ( cos ( α + π 2 ) , sin ( α + π 2 ) ) N(\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}),\sin(\alpha+\frac{\pi }{2}))N ( cos ( uma+2p) ,pecado ( um+2p))
- Então cos ( α + π 2 ) \cos(\alpha+\frac{\pi}{2})porque ( um+2p) =− sin α -\sin\alfa-pecadoum ? sin ( α + π 2 ) \sin(\alpha+\frac{\pi}{2})pecado ( um+2p) =cos α \cos\alfaporquea
- Usando técnicas semelhantes, α \alpha pode ser completamente resumidoA mesma conclusão (fórmula) é estabelecida quando α está nos quatro quadrantes.
α , α − π 2 \alpha,\alpha-\frac{\pi}{2}um ,a-2p
- α − π 2 \alpha-\frac{\pi}{2}a-2p= − ( − α + π 2 ) -(-\alpha+\frac{\pi}{2})− ( − uma+2p)
- Pode ser deduzido diretamente das fórmulas do grupo anterior, por exemplo
- cos ( α − π 2 ) \cos(\alpha-\frac{\pi}{2})porque ( um-2p) =cos ( − ( − α + π 2 ) ) \cos(-(-\alpha+\frac{\pi}{2}))cos ( − ( − uma+2p)) =cos ( − α + π 2 ) \cos(-\alpha+\frac{\pi}{2})cos ( - uma+2p) =pecado α \ pecado \ alfapecadoa
- sin ( α − π 2 ) \sin(\alpha-\frac{\pi}{2})pecado ( um-2p) =sin ( − ( − α + π 2 ) ) \sin(-(-\alpha+\frac{\pi}{2}))pecado ( − ( − uma+2p)) =− sin ( − α + π 2 ) -\sin(-\alpha+\frac{\pi}{2})-pecado ( - a+2p) =− cos α -\cos\alfa-porquea
- ⋯\cdots⋯
Resumo@mantra
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Por meio de pesquisa e indução nas fórmulas induzidas de funções trigonométricas, as pessoas resumiram um conjunto de fórmulas para completar rapidamente a conversão da seguinte forma
- você ( α + k ⋅ π 2 ) você(\alpha+k\cdot{\frac{\pi}{2}})Você ( uma+k⋅2p) ,k ∈ Z k\in\mathbb{Z}k∈Z到V ( α ) V(\alfa)V ( uma )
- Dentro de U, VU,VVocê ,V representasin , cos \sin,\cospecado ,Um nome de função em cos , U, VU,VVocê ,V pode assumir o mesmo nome de função
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Aqui está a fórmula mais comumente usada, usada principalmente para sin , cos \sin,\cospecado ,porque
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" Mudanças ímpares para símbolos pares e inalterados observam os quadrantes "
- As mudanças de ímpar para par permanecem inalteradas:
- ifkk_ _k é um número par, entãoU, VU, VVocê ,Os nomes das funções de V são iguais, por exemplo, são todossin \sinpecado ou amboscos \coscos , ou seja,o nome da função permanece inalterado
- ifkk_ _k é um número ímpar, o nome da função muda (sin → cos ; cos → sin \sin\to\cos;\cos\to{\sin}pecado→porque ;porque→pecado )
- Os símbolos olham para os quadrantes:
- O sinal refere-se ao sinal de mais ou menos
- Alterar α\alfaα é considerado um ângulo agudo e então julgueα + k ⋅ π 2 \alpha+k\cdot{\frac{\pi}{2}}a+k⋅2pO quadrante onde a borda terminal está localizada
- O sinal do lado terminal (ângulo correspondente) sob a função trigonométrica U é VVO símbolo de V é simplesmenteo mesmo sinal
- Exemplo cos ( − 19 π 4 ) \cos(-\frac{19\pi}{4})porque ( -419h _) =cos ( 19 4 π ) \cos(\frac{19}{4}\pi)porque (419π ) =cos ( 3 π 4 + 4 π ) \cos(\frac{3\pi}{4}+4\pi)porque (415h _+4 π ) =cos 3 4 π \cos{\frac{3}{4}\pi}porque43π =cos ( π 2 + π 4 ) \cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})porque (2p+4p) =− sin π 4 -\sin\frac{\pi}{4}-pecado4p= − 2 2 -\frac{\sqrt{2}}{2}-22
- As mudanças de ímpar para par permanecem inalteradas:
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Outras funções trigonométricas podem ser convertidas em sin , cos \sin,\cospecado ,cos é calculado, portanto não é necessário lembrar
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Se necessário, você pode consultar outras informações para outras fórmulas.