[Introdução à Robótica] Derivação da rotação do tensor de inércia e transformações de translação

1. Introdução

Recentemente encontrei alguns problemas práticos envolvendo o tensor de inércia, como:

• Como você calcula o tensor de inércia global para duas hastes conectadas por uma dobradiça?
• Como calcular o tensor de inércia geral para um sistema composto por muitos componentes simples?

No processo de busca por métodos de cálculo na Internet, é difícil encontrar métodos matemáticos concisos por meio das palavras-chave corretas. Portanto, após repetidas pesquisas, fiz um resumo das informações que encontrei como complemento aos capítulos relevantes do livro “Introdução à Robótica”.
A representação simbólica do conteúdo a seguir seguirá a convenção de nomenclatura de "Introdução à Robótica".

2. O conceito de tensor de inércia

Para um corpo rígido com seis graus de liberdade no espaço tridimensional, pode haver eixos de rotação infinitos. Para um corpo rígido, quando gira em torno de qualquer eixo, precisamos de uma forma universal de caracterizar a distribuição de massa do corpo rígido, então o tensor de inércia é introduzido .

A seguir está a definição de tensor de inércia dada pela Enciclopédia Baidu

Para uma introdução mais detalhada, consulte o wiki Momento de inércia

Por conveniência, o sistema de coordenadas do tensor de inércia de um corpo rígido geralmente toma o centro de massa do corpo rígido como origem . Também seguiremos este ponto na seguinte derivação e prova.

3. Transformação de rotação do tensor de inércia

Suponha que um sistema de coordenadas seja $\left\{0\right\}$ , existe um corpo rígido, selecione um ponto nele para estabelecer o sistema de coordenadas aleatórias$\left\{b\right\}$ , o corpo rígido é representado por$Velocidade\; angular\; de\; \omega$ (em$\left\{0\right\}$ é descrito abaixo) em relação a$\{0\}é$ movimento$.$

3.1 Conclusão

$$\begin{gathered} {}^{b}EU=\left({}_b^{}{R}^T\right)\left({}^{0}eu\right)\left({}_b^{}R\right) \\ {}^{0}EU=\left({}_b^{}R\right)\left({}^{b}eu\right)\left({}_b^{}{R}^T\right) \end{gathered}$$
(A letra vermelha indica: preste atenção ao sobrescrito!)

3.2 Prova

A fórmula para a energia rotacional de um corpo rígido (semelhante à energia cinética de translação) é a seguinte:
$$\begin{array}{c}T=\frac{}{2}{oh}^{T}eu\end{array}$$
Entre eles, $T$ representa a energia cinética, que é uma quantidade escalar. Fórmula$\left(1\right)$ Para o processo de prova, consulte:Prova de Fórmula Energética de Rotação de Corpo Rígido

É fácil entender que não importa em que sistema de coordenadas o tensor de inércia e a velocidade angular sejam expressos, a energia cinética escalar da rotação do corpo rígido é a mesma. Portanto:
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{}{2}\left({}^0{ah}^T\right)\left({}^{0}eu\right)\left({}^{0ó}\right)\_\\ & =\frac{}{2}\left({}^b{o}^T\right)\left({}^{b}eu\right)\left({}^{b\omega }\right)\end{array}$$
$\left(2\right)$ Fórmula =$\left(3\right)$ fórmula,$\left(3\right)$ Por que parte da fórmula está marcada em vermelho? Usarei em breve!

vontade $\left(2\right)$式作如下展开：
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{}{2}\left({}^0{ah}^T\right)\left({}^{0}eu\right)\left({}^{0ó}\right)\_\\ & =\frac{}{2}\left({}_b^{}R{}^{b\omega }\right)\_{}^T\left({}^{0}eu\right)\left({}_b^{}R{}^{b\omega }\right)\_\\ & =\frac{}{2}\left({}^b{o}^T\right)\left({}_b^{}{R}^T\right)\left({}^{0}eu\right)\left({}_b^{}R\right)\left({}^{b\omega }\right)\end{array}$$

$\left(4\right)-A\; derivação\; da\; equação\; (6)$ é principalmente: transformação da matriz de rotação + lei associativa, compare com$\left(3\right)$ e$\left(6\right)$式有：
$$\begin{array}{c}{}^{b}EU=\left({}_b^{}{R}^T\right)\left({}^{0}eu\right)({}_b^{}R\end{array}$$

$A\; equação\; (7)$ é a fórmula de transformação de rotação do tensor de inércia.
Além disso,$\left(7\right)$ Multiplique à esquerda ambos os lados da equação$\left({}_b^{}R\right)$，右乘$\left({}_b^{}{R}^T\right)$，可得：
$$\begin{array}{r}{}^{0}EU=\left({}_b^{}R\right)\left({}^{b}eu\right)({}_b^{}{R}^T\end{array}$$

4. Transformação de tradução do tensor de inércia

Suponha que uma massa seja $Um\; corpo\; rígido\; de\; m$ , selecione um ponto nele para estabelecer um sistema de coordenadas aleatórias$\left\{C\right\}$ , outro sistema de coordenadas$\left\{A\right\}$ e$\left\{C\right\}$ é um relacionamento de tradução e{ C } \{C\} A origem de$\{$$C$$\}$ está em { A } \{A\} A posição no sistema$\{$$A$$\}$$P_{}$。

4.1 Conclusão

O corpo rígido está em { A } \{A\} O tensor de inércia no$sistema\; \{$$A$$\}$
$${}^{A}EU={}^{C}EU+m(P_c^{}{P}_{}{EU}_{}-P_{}{P}_c^{})$$
parte${EU}_{}$é $3\times$Matriz identidade de$3\; .$

A fórmula acima é a conclusão da "Introdução à Robótica", que é consistente com a fórmula fornecida na Wikipedia abaixo, e pode ser entendida como uma generalização do teorema dos eixos paralelos .

4.2 Prova

A seguir está uma introdução ao teorema do eixo paralelo do tensor da Wikipedia :

Para uma prova mais detalhada, consulte este artigo sobre CNKI: Forma geral de translação de tensor de inércia e transformação composta de rotação e sua aplicação

Referências

[1] Introdução à Robótica (Quarta Edição do livro original) por John J.Craig, traduzido por Yun Chao e Wang Chao [
2] A forma geral e aplicação da translação do tensor inercial e transformação composta de rotação
[3] Teorema do eixo paralelo