Caputo Equação diferencial fracionária - método de ordem espacial de aproximação L para problema de valor de contorno inicial da equação de difusão lenta e sua implementação do programa Matlab
Introdução:
Equações diferenciais fracionárias são uma classe de equações diferenciais com derivadas não inteiras e possuem uma ampla gama de aplicações. A equação de difusão lenta é um caso especial de equações diferenciais fracionárias que descreve o comportamento da cauda de longo prazo do processo de difusão. Este artigo apresenta um método de ordem espacial baseado na aproximação L para resolver o problema do valor limite inicial da equação diferencial fracionária de difusão lenta de Caputo e fornece a implementação do programa Matlab correspondente.
Introdução à equação:
Consideramos o problema de valor limite inicial da equação diferencial fracionária de Caputo - equação de difusão lenta na seguinte forma:
D^alpha u(x, t) = k * (d^2 u(x, t) / dx^2), 0 < x < L, 0 < t <= T,
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f(x), 0 <= x <= L,
Entre eles, D^alpha representa a derivada de Caputo, 0 <alfa <1 é a ordem da derivada fracionária, k é o coeficiente de difusão, L é o comprimento da região espacial, T é o ponto final do tempo e f(x ) é a função de condição inicial.
O método de ordem espacial de aproximação L:
O método de ordem espacial de aproximação L é um método baseado na aproximação da função de base para discretizar variáveis espaciais. Discretizamos a área do espaço [0, L] em N pontos da grade, registrados como x_i = i * h, onde h = L / N, i = 0, 1, 2,…, N. Em seguida, usamos o método de aproximação L para converter as derivadas fracionárias em derivadas regulares para que possam ser resolvidas no espaço discreto.
Especificamente, usamos polinômios de interpolação de Lagrange como funções básicas. Para qualquer x, podemos definir o polinômio de interpolação L_j(x):