[Método de avaliação abrangente] Métodos comuns de avaliação abrangente e sua implementação

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1. Pré-processamento de dados

1.1 Atributos que distinguem os indicadores

1. indicador positivo
2. indicador negativo
3. indicadores intermediários
4. indicador de intervalo

1.2 Indicadores positivos

1.2.1 Indicadores negativos

O método positivo de indicadores negativos, também conhecido como método de reversão de indicadores, refere-se à conversão de indicadores que originalmente refletem situações negativas em indicadores que refletem situações positivas para facilitar a comparação e análise. Este método é amplamente utilizado em indicadores de avaliação, pesquisas de mercado, análise de dados e outras áreas.

Especificamente, o método positivo de indicadores negativos pode ser dividido nas seguintes etapas:

1. Determine os indicadores a serem encaminhados

2. Determine que tipo de positivação é necessária para indicadores negativos.Os métodos comuns incluem valor recíproco, logarítmico, absoluto, etc.

3. A fórmula de cálculo dos indicadores de encaminhamento depende de diferentes métodos de encaminhamento.

4. Normalizar os indicadores encaminhados para torná-los mais comparáveis

O seguinte apresenta um método positivo para indicadores negativos.

Para um conjunto de dados de indicadores negativos:
$${sim}_{},{sim}_{},...,{sim}_{}$$
取出最大值:
$${sim}_{ma}=máx.\left\{e_{},{sim}_{},...,{sim}_{}\right\}$$
Então use este valor para atualizar${sim}_{}$：
$${sim}_{}:={sim}_{ma}-{sim}_{}$$

1.2.2 Indicadores intermediários

Indicadores intermediários significam que o valor do indicador não deve ser muito pequeno ou muito grande. É melhor escolher um valor específico. Por exemplo, o melhor valor de pH de um corpo de água é 7. O seguinte apresenta um método de encaminhamento para indicadores intermediários:

Para um conjunto de dados de indicadores intermediários:
$${sim}_{},{sim}_{},...,{sim}_{}$$
Primeiro estabeleça um valor ideal:
$${sim}_{melhor\_}$$
Em seguida, calcule a distância entre cada dado neste conjunto de dados e o valor ideal e pegue o maior:

$$M=máx.\left\{|y_{}-{sim}_{melhor\_}|,|e_{}-{sim}_{melhor\_}|,...,|e_{}-{sim}_{melhor\_}|\right\}$$

Em seguida, use este valor para atualizar ${sim}_{}$：
$${sim}_{}:=1-\frac{|e_{}-{sim}_{melhor\_}}{M}$$

1.2.3 Indicador de intervalo

Indicadores do tipo intervalo significam que o valor do indicador cai melhor dentro de um determinado intervalo. Por exemplo, a temperatura corporal de uma pessoa está em $36^{\circ }C$a$37^{\circ C}é$melhor. A seguir é apresentado um método de encaminhamento para indicadores de intervalo:

Para um conjunto de dados do indicador de intervalo:
$${sim}_{},{sim}_{},...,{sim}_{}$$
Primeiro trace um intervalo ideal:
$$\left(uma,b\right)$$
Obtenha os valores máximo e mínimo deste conjunto de dados:
$${sim}_{ma}=máx.\left\{e_{},{sim}_{},...,{sim}_{}\right\},{sim}_{}=\min \left\{e_{},{sim}_{},...,{sim}_{}\right\}$$

Em seguida, calcule um valor $M$：
$$M=máx.\left\{uma-{sim}_{},{sim}_{ma}-b\right\}$$

Em seguida, use a seguinte fórmula para atualizar ${sim}_{}$：
yi : = { 1 − a − yia − ymin , ymin ≤ yi < a 1 , a ≤ yi ≤ b 1 − yi − bymax − b , b < yi ≤ ymax y_{i}:= \left\{\begin {matriz} 1-\frac{a-y_{i}}{a-y_{min}},y_{min} \le y_{i} < a \\ 1,a \le y_{i} \le b \\ 1-\frac{y_{i}-b}{y_{max}-b},b < y_{i} \le y_{max} \end{matriz}\right.simeu:=⎩ ⎨ ⎧1-uma - vocêminuma - vocêeu​,simmin≤simeu<a1 ,a≤simeu≤b1-simma x−b _simeu− b,b<simeu≤simma x​
É mais intuitivo usar o seguinte diagrama ladder:

1.3 Padronização

1.3.1 Normalização do escore Z

Para amostra XXCada recurso em$X\; :$

$$X_{noumallize}=\frac{(X-m}{p}$$

Entre eles, $\mu$ é a média do recurso,$\sigma$ é o desvio padrão do recurso.

1.3.2 Normalização mínimo-máximo

Para amostra XXCada recurso em$X\; :$

$$X_{noumallize}=\frac{(X-X_{}}{(X_{ma}-X_{})}$$

Entre eles, $X_{}$é o valor mínimo do recurso, $X_{ma}$é o valor máximo deste recurso.

1.3.3 Padronização robusta

Para amostra XXCada recurso em$X\; :$

$$X_{noumallize}=\frac{(X-median}{QR/2}$$

onde mediana é a mediana da característica e IQR é o intervalo interquartil (ou seja, a diferença entre os quartis superior e inferior).

1.3.4 Normalização

Para amostra XXCada recurso em$X\; :$

$$X_{noumallize}=\frac{}{\sqrt{{\sum }_{eu=1}^{}{x}_{eu}^{}}}$$

Entre eles, $n$ é o número de recursos da amostra.

2. Método de avaliação difuso (subjetivo) (não recomendado)

• Adequado para problemas de avaliação sem indicadores fornecidos

3.Processo hierárquico analítico (subjetivo) (não recomendado)

• Adequado para problemas de avaliação sem indicadores fornecidos

4. Método de análise de componentes principais PCA (objetivo)

A análise de componentes principais é uma técnica de redução de dimensionalidade não supervisionada comumente usada que projeta os dados originais em um novo espaço de baixa dimensão, a fim de preservar a variância máxima dos dados. Ao escolher um número apropriado de componentes principais, podemos capturar as informações mais importantes dos dados e reduzir a dimensionalidade dos dados originais.

4.1 Etapas

1. Encaminhamento e padronização de dados: suponha que tenhamos ppDados de amostraX = ( x 1 , x 2 , . . . , xn ) em p $dimensão$$X=(x_{},x_{},...,x_{})$ , a média dos dados de cada dimensão é 0 e o desvio padrão é 1. O objetivo desta etapa é remover a influência dimensional entre as dimensões.
   $$x_j^{}=\frac{x_{}-x}{p_{}}(j=1,2,...,p)$$
   onde,$\bar{x}$ é a média de todos os dados amostrais,$p_{}$É $O\; desvio\; padrão\; da\; dimensão\; j$ .

2. Calcular matriz de covariância: Calcule a matriz de covariância dos dados padronizados. A matriz de covariância descreve a correlação entre diferentes recursos.

   Exemplo:
   $$S=\frac{}{n-1}(X-\bar{X}{)}^T(X-\bar{X})$$
   onde,$\Sigma$ é a matriz de covariância,$X$ é a matriz de dados padronizada,$\bar{X}$ é a média de cada recurso,$n$ é o tamanho da amostra.

3. Calcular autovalores e autovetores: Execute a decomposição de autovalores na matriz de covariância para obter autovalores e autovetores correspondentes. O vetor de recursos representa a direção dos dados no novo espaço de recursos.

4. Selecione os componentes principais: classifique os autovetores de acordo com o tamanho de seus autovalores e selecione os k autovetores principais como componentes principais. Os autovalores correspondentes a esses componentes principais são maiores e contêm mais informações de dados originais.

5. Calcular projeção: Projete os dados originais nos componentes principais selecionados para obter os dados dimensionalmente reduzidos.

   Exemplo: $$S=X_{}$$
   Parte$$W$$$Y$ é a matriz de dados dimensionalmente reduzida,$X_{}$é a matriz de dados padronizada, $W$ é a matriz de projeção composta pelos primeiros k autovetores.

6. Opcional: Reconstrua os dados: Com base nos dados dimensionalmente reduzidos e na matriz de projeção, os dados podem ser remapeados no espaço original por meio da transformação inversa.

   Exemplo: $$X_{}=O{W}^T$$
   其中,$X_{}$é a matriz de dados reconstruída.

4.2 Implementação

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.decomposition import PCA

# 输入待降维数据 (5 * 6) 矩阵，6个维度，5个样本值
>>> A = np.array([[84,65,61,72,79,81],[64,77,77,76,55,70],[65,67,63,49,57,67],[74,80,69,75,63,74],[84,74,70,80,74,82]])
>>> print(A)
[[84 65 61 72 79 81]
 [64 77 77 76 55 70]
 [65 67 63 49 57 67]
 [74 80 69 75 63 74]
 [84 74 70 80 74 82]]
 
# 直接使用PCA进行降维
>>> pca = PCA(n_components=2) #降到 2 维
>>> pca.fit(A)
PCA(n_components=2)
>>> pca.transform(A) # 降维后的结果
array([[-16.14860528, -12.48396235],
       [ 10.61676743,  15.67317428],
       [ 23.40212697, -13.607117  ],
       [ -0.43966353,   7.77054621],
       [-17.43062559,   2.64735885]])
>>> pca.explained_variance_ratio_ # 降维后的各主成分的方差值占总方差值的比例，即方差贡献率
array([0.63506778, 0.339022  ])
>>> pca.explained_variance_ # 降维后的各主成分的方差值
array([306.29319053, 163.51030959])

5. Método Topsis (objetivo)

O método de avaliação abrangente Topsis é um método de análise de decisão multidimensional adequado para uma variedade de cenários complexos de avaliação e tomada de decisão. Para explicar com mais clareza, explicarei cada etapa com mais detalhes.

Em primeiro lugar, o plano de avaliação necessita de considerar múltiplos indicadores de avaliação ao mesmo tempo, estes indicadores podem ser contraditórios ou ter pesos diferentes, devendo ser padronizados através de um determinado modelo matemático e ponderados de acordo com a sua importância relativa. O método Topsis baseia-se nesta estrutura e utiliza o seguinte método de cálculo para encontrar a pontuação abrangente de cada solução em cada indicador.

5.1 Encaminhamento

Veja 1.2 para detalhes

5.2 Padronização

Geralmente, o método de normalização 1.3.4 é usado.

Suponha que existam n soluções (ou entidades), cada solução possui m indicadores de avaliação diferentes e uma avaliação abrangente é realizada entre diferentes indicadores de avaliação. Para o índice j de cada plano i, seu valor padronizado v(i,j) pode ser obtido através do seguinte cálculo:

$$v_{}=\frac{x_{}}{\sqrt{{\sum }_{eu=1}^{}{x}_{eu\; j}^{}}}$$

onde $x_{}$Indica os dados originais do j-ésimo indicador do i-ésimo plano. A padronização unifica o intervalo de dados de diferentes dimensões entre 0 e 1 e elimina o impacto das magnitudes dos dados.

5.3 Calcular soluções ideais positivas e negativas

• Se nenhum encaminhamento for feito:

Para indicadores de benefícios, tais como preço, rendimento, etc., eles precisam ser maximizados; enquanto para indicadores de custos, tais como custos, passivos, etc., eles precisam ser minimizados. Os valores máximo e mínimo de cada indicador nas n soluções fornecidas podem ser calculados separadamente. Suponha que a solução ideal positiva do j-ésimo indicador seja $v_j^{}$, a solução ideal negativa é $v_j^{}$. O método de cálculo específico é o seguinte:

Para indicadores de benefícios:

$$v_j^{}=máx.\{v_{}|eu=1,2,\cdots ,n\}$$

$$v_j^{}=\min \{v_{}|eu=1,2,\cdots ,n\}$$

Para indicadores de custos:

$$v_j^{}=\min \{v_{}|eu=1,2,\cdots ,n\}$$

$$v_j^{}=máx.\{v_{}|eu=1,2,\cdots ,n\}$$

• Se o encaminhamento for feito:

Basta pegar o valor máximo de cada vetor coluna.

5.4 Calcule a distância entre cada solução e as soluções ideais positivas e negativas

Após a normalização, a distância entre cada solução e as soluções ideais positivas e negativas pode ser calculada. Suponha que a distância entre a i-ésima solução e a solução ideal seja $S_{eu}^{}$, a distância até a solução ideal negativa é $S_{eu}^{}$。

$$S_{eu}^{}=\sqrt{\sum _{j=1}{(v_{}-v_j^{})}^2}$$

$$S_{eu}^{}=\sqrt{\sum _{j=1}{(v_{}-v_j^{})}^2}$$

Entre eles, $m$ é o número de dimensões do indicador. $S_{eu}^{}$Esquema de representação $A\; distância\; entre\; i$ e a solução ideal,$S_{eu}^{}$Esquema de representação $A\; distância\; entre\; i$ e a solução ideal negativa. Quanto menor o valor, mais próximo ele está da solução ideal. Portanto, o intervalo de soluções ideais positivas e negativas pode ser expandido para$[0,1]$ como base para indicadores de inspeção.

5.5 Calcular a pontuação geral

A pontuação abrangente final ${é}_{}$Isso pode ser obtido pesando cada métrica da seguinte forma:

$${é}_{}=\frac{S_{eu}^{}}{S_{eu}^{}+S_{eu}^{}}$$

Entre eles, $S_{eu}^{}$Representa o $A\; distância\; entre\; i$ soluções e a solução ideal,$S_{eu}^{}$Representa o $A\; distância\; entre\; i$ soluções e a solução ideal negativa. Pontuação abrangente${é}_{}$Pode ser considerada como a média ponderada dos indicadores de avaliação. Quando a pontuação geral é maior, significa que o $As\; soluções\; i$ são melhores.

Aqui está um exemplo de como usar esse método para tomada de decisões. Por exemplo, uma empresa deseja escolher a plataforma de aprendizado de máquina mais adequada levando em consideração diversas métricas. Seus indicadores de avaliação incluem pontuações de recursos (como tamanho, precisão de vários tipos de modelos, etc.), pontuações de qualidade de serviço (incluindo facilidade de uso, tempo de resposta, privacidade de dados, etc.), pontuações de preços, etc. Assumimos que existem três plataformas candidatas de aprendizado de máquina e os indicadores de avaliação são mostrados na tabela a seguir:

Plataforma candidata	Pontuação do recurso (0 - 1)	Índice de qualidade do serviço (0 - 1)	Pontuação de preço (0 - 1)
Plataforma A	0,8	0,6	0,7
Plataforma B	0,6	0,8	0,6
Plataforma C	0,7	0,5	0,8

Use o método Topsis para calcular a pontuação de cada plataforma:

Padronize cada índice de avaliação, calcule as soluções ideais positivas e negativas que atendem a cada índice padronizado e calcule a distância entre cada plataforma e a solução ideal:

Plataforma candidata	Pontuação de recursos	Índice de qualidade do serviço	pontuação de preço	solução ideal	solução ideal negativa	distância até a solução ideal	distância para solução ideal negativa	classificações gerais
Plataforma A	0,8	0,6	0,7	0,8	0,5	0,2236	0,3606	0,3825
Plataforma B	0,6	0,8	0,6	0,8	0,5	0,2828	0,2828	0,5000
Plataforma C	0,7	0,5	0,8	0,8	0,5	0,2449	0,3317	0,4255

Através do cálculo, a Plataforma B possui a pontuação geral mais alta, portanto esta plataforma pode ser recomendada como sua opção preferida para aprendizado de máquina.

6. Método de análise de correlação cinza (objetivo)

A análise de correlação cinza é um método de avaliação abrangente multifatorial comumente usado, que pode ser usado para determinar a correlação entre diferentes objetos e um determinado objeto de referência. Se definirmos este objeto de referência como o objeto perfeito ideal, então o método de análise de correlação cinza pode analisar as vantagens e desvantagens de diferentes objetos.

As etapas específicas de implementação são as seguintes:

6.1 Coletando dados

Estabelecer uma matriz de índices de avaliação, em que cada linha corresponda a um fator (objeto de avaliação) e cada coluna corresponda a um índice de avaliação. Os indicadores de avaliação podem ser indicadores quantitativos ou indicadores qualitativos (qualitativos), mas os significados específicos dos indicadores devem ser os mesmos. Deixe a matriz do índice de avaliação ser $X$ , onde$x_{}$Representa o $eu$ fatoro para$Os\; valores\; dos\; indicadores\; j$ .

Vamos primeiro dar um exemplo de dados sobre a avaliação dos indicadores dos candidatos a fornecedores de uma empresa principal:

Índice de avaliação	Objeto 1	Objeto 2	Objeto 3	Objeto 4	Objeto 5	Objeto 6
qualidade do produto	0,83	0,90	0,99	0,92	0,87	0,95
Preço do produto (yuan)	326	295	340	287	310	303
Localização geográfica (km)	21	38	25	19	27	10
Serviço pós-venda (horas)	3.2	2.4	2.2	2,0	0,9	1.7
nível técnico	0,20	0,25	0,12	0,33	0,20	0,09
Benefícios econômicos	0,15	0,20	0,14	0,09	0,15	0,17
Capacidade de fornecimento (peças)	250	180	300	200	150	175
Influência do mercado	0,23	0,15	0,27	0h30	0,18	0,26
Status de entrega	0,87	0,95	0,99	0,89	0,82	0,95

6.2 Encaminhamento e padronização e estabelecimento de objetos de referência

Encaminhe e padronize a matriz do índice de avaliação e converta cada índice em um valor de índice de avaliação na mesma dimensão. O método de padronização geralmente adota a padronização Min-max. Consulte 1.2 e 1.3 para obter detalhes.

No exemplo acima, o preço do produto, a localização geográfica e o serviço pós-venda são indicadores negativos , enquanto outros são indicadores positivos. Os dados pré-processados ​​são os seguintes:

Índice de avaliação	Objeto 1	Objeto 2	Objeto 3	Objeto 4	Objeto 5	Objeto 6
Indicador 1	0	0,4375	1	0,5625	0,25	0,75
Indicador 2	0,2642	0,8491	0	1	0,566	0,6981
Indicador 3	0,6071	0	0,4643	0,6786	0,3929	1
Indicador 4	0	0,3478	0,4348	0,5217	1	0,6522
Indicador 5	0,4583	0,6667	0,125	1	0,4583	0
Indicador 6	0,5455	1	0,4545	0	0,5455	0,7273
Indicador 7	0,6667	0,2	1	0,3333	0	0,1667
Indicador 8	0,5333	0	0,8	1	0,2	0,7333
Indicador 9	0,2941	0,7647	1	0,4118	0	0,7059

Crie um objeto de referência da seguinte maneira:

Índice de avaliação	Objeto 1	Objeto 2	Objeto 3	Objeto 4	Objeto 5	Objeto 6	Objeto de referência
Indicador 1	0	0,4375	1	0,5625	0,25	0,75	1
Indicador 2	0,2642	0,8491	0	1	0,566	0,6981	1
Indicador 3	0,6071	0	0,4643	0,6786	0,3929	1	1
Indicador 4	0	0,3478	0,4348	0,5217	1	0,6522	1
Indicador 5	0,4583	0,6667	0,125	1	0,4583	0	1
Indicador 6	0,5455	1	0,4545	0	0,5455	0,7273	1
Indicador 7	0,6667	0,2	1	0,3333	0	0,1667	1
Indicador 8	0,5333	0	0,8	1	0,2	0,7333	1
Indicador 9	0,2941	0,7647	1	0,4118	0	0,7059	1

Como o processamento direto e a normalização Min-Max são executados aqui, os vários indicadores do objeto de referência aqui só precisam assumir o valor máximo para cada linha.

6.3 Determinar pesos

Determine o peso correspondente a cada indicador. No entanto, cada linha da matriz do indicador não será ponderada por enquanto . Esses pesos podem ser determinados usando o processo de hierarquia analítica.
$$oh=\left[{ah}_{},{oh}_{},...,{oh}_{}\right],\sum _{eu=1}{oh}_{}=1Esses$$
pesos serão utilizados no cálculo do grau de correlação cinza.

6.4 Calcular coeficiente de correlação cinza

Nós nos lembramos $x_{}$para objeto $i$，参考对象为$x_0$。$x_i$与$x_0$都有m个指标，我们需要求出它们在第k个指标上的关联系数。关联系数越大，代表这个实际对象越贴近于参考对象。对于n个实际对象，m个指标，$x_i(j)$表示实际对象i的第j个指标的值，那么，$x_i$与$x_0$在第k个指标上的关联系数的计算公式如下：
$$\begin{gathered} {\xi }_i(k)=\frac{{\min }_{1\le s\le n}{\min }_{1\le t\le m}\left|x_0(t)-x_s(t)\right| \\ +\rho {\max }_{1\le s\le n}{\max }_{1\le t\le m}\left|x_0(t)-x_s(t)\right|}{\left|x_0(k)-x_i(k)\right| \\ +\rho {\max }_{1\le s\le n}{\max }_{1\le t\le m}\left|x_0(t)-x_s(t)\right|} \end{gathered}$$

其中，${\min }_{1\le s\le n}{\min }_{1\le t\le m}\left|x_0(t)-x_s(t)\right|$称为两极最小差，${\max }_{1\le s\le n}{\max }_{1\le t\le m}|x_0(t)-x_s(t)|$ é chamadade diferença máxima de dois níveis,$\rho$ é chamadode coeficiente de resolução.

O processo de cálculo da diferença mínima de dois níveis e da diferença máxima de dois níveis é o processo de comparação de cada valor da matriz do indicador com o objeto de referência. Coeficiente de resolução $Quanto\; maior\; \rho$ , maior será a resolução;$Quanto\; menor\; \rho$ , menor será a resolução

No exemplo acima, podemos calcular que a diferença mínima entre os dois níveis é 0 e a diferença máxima entre os dois níveis é 1. Isto se deve ao uso do método de normalização Min-max.

6.5 Calcular correlação ponderada em cinza e classificar

A correlação ponderada em cinza é a pontuação final de cada objeto , que é calculada pela seguinte fórmula:

$$R_{}=\sum _{k=1}{c}_{}{X}_{}\left(k\right)$$

Entre eles, $R_{}$Representa a pontuação do objeto a ser avaliado, $c_{}$é o peso determinado em 6.3.

Por fim, são ordenados de acordo com as pontuações de cada objeto de avaliação, sendo que uma pontuação maior significa que quanto mais próxima for a relação com cada indicador, melhor.