[Concurso de Matemática para Estudantes Universitários Nacionais Huashu Cup 2023] Questão B Design de esquema de cores ideal para produtos opacos Papel de 39 páginas e código python

[Concurso de Matemática para Estudantes Universitários Nacionais Huashu Cup 2023] Questão B Design de esquema de cores ideal para produtos opacos Papel de 39 páginas e código python

1 tópico

Problema B Projeto de esquema de cores ideal para produtos opacos

Os produtos coloridos opacos coloridos na vida diária são tingidos por corantes. Portanto, a combinação de cores de produtos opacos desempenha um papel importante em sua aparência e competitividade no mercado. No entanto, a combinação tradicional de cores artificiais tem certas limitações, como forte subjetividade e baixa eficiência. Portanto, é de grande importância estudar como realizar a combinação de cores de produtos opacos por métodos computacionais.

A luz se propaga através dos objetos de três maneiras: absorção, reflexão e transmissão. Para artigos opacos, a maior parte da luz é absorvida ou refletida pela superfície. A luz absorvida e refletida é decomposta em diferentes componentes de cor de acordo com o comprimento de onda após correção como transparência, formando um mapa espectral. Esse espectro geralmente consiste nas cores da luz na banda de 400 a 700 nm. Para simplificar o cálculo, a refletância da cor após a correspondência de cores final é representada pelos dados espectrais em intervalos de 20 nm. Para materiais opacos, existe uma certa relação entre a proporção do coeficiente de absorção K/coeficiente de dispersão S e a refletividade R. Para obter detalhes, consulte o modelo óptico KM em [1] "Pesquisa sobre teoria e algoritmos de correspondência de cores por computador" .

Os parâmetros de cor obtidos com base no modelo óptico podem ser aplicados ao cálculo da diferença de cor. Normalmente, a diferença de cores (não mais que 1) é usada como padrão para o efeito de correspondência de cores. Referências do método de cálculo da diferença de cores [2] O método de cálculo da diferença total de cores do espaço de cores CIELAB em "Pesquisa sobre medição de cores de tecido misturado com base no espaço de cores uniforme CIELAB e algoritmo de agrupamento". O método de cálculo do valor tristimulus XYZ que aparece no cálculo dos parâmetros de cor L* (luminosidade), a* (grau vermelho-verde) eb* (grau amarelo-azul) é o seguinte: X = k ∫ 400 700 S ( λ ) x
$$\begin{gathered} x=k{\int }_{400}^{}S\left(\lambda \right)x\left(\lambda \right)R\left(\lambda \right)d\left(\lambda \right) \\ Y=k{\int }_{400}^{}S\left(\lambda \right)y\left(\lambda \right)R\left(\lambda \right)d\left(\lambda \right) \\ Z=k{\int }_{400}^{}S\left(\lambda \right)z\left(\lambda \right)R\left(\lambda \right)d\left(\lambda \right) \end{gathered}$$

Entre eles, S (l) é a distribuição de energia espectral, $x\left(\lambda \right)$ ,$y\left(\lambda \right)$ ,$z\left(\lambda \right)$ é o valor tristimulus do espectro do observador,$S\left(\lambda \right)$ e$x\left(\lambda \right)$ ,$y\left(\lambda \right)$ ,z ( λ ) z(\lambda)Consulte o Apêndice 1 para multiplicar$z$$($$\lambda$$)\; para\; um\; valor\; fixo.$$R\left(\lambda \right)$ é a refletância espectral, o valor de k é cerca de 0,1,$d\left(\lambda \right)$ é o intervalo de comprimento de onda da refletância do objeto medido, esta questão$d\left(\lambda \right)$ = 20nm。

O problema de correspondência de cores de produtos opacos é projetar o modelo de correspondência de cores de produtos opacos com base no modelo óptico. Comparado com a correspondência manual de cores, economiza muita mão de obra, recursos materiais e financeiros, o que é de grande importância para reduzir o consumo de energia.

Para um produto opaco, são conhecidos os valores K/S dos corantes vermelho, amarelo e azul em diferentes concentrações e diferentes comprimentos de onda e os valores K/S do material de base em diferentes comprimentos de onda, consulte o Anexo 2. Em que concentração = peso de grama de corante/peso de substrato. A proporção do coeficiente de absorção K/coeficiente de dispersão S de cada corante é aditiva, consulte a teoria da constante única KM em [1] "Pesquisa sobre teoria e algoritmo de combinação de cores por computador" para obter detalhes. Consulte o Apêndice 3 para obter os valores R de 10 amostras-alvo (feitas pela mistura de dois a três corantes). Por favor, mantenha 4 casas decimais para a exibição do resultado.

Por favor, construa um modelo matemático para resolver os seguintes problemas:

Pergunta 1: Calcule a relação entre K/S e a concentração dos três corantes no Anexo 2 em diferentes comprimentos de onda e preencha a fórmula de relação e o coeficiente de ajuste na tabela.

Tabela 1 Dados de resultados relacionados à pergunta 1

Comprimento de onda	vermelho	amarelo	azul
relação de função	coeficiente de ajuste	relação de função	coeficiente de ajuste	relação de função	coeficiente de ajuste
400nm
420nm
440nm
……
700nm

Questão 2: Por favor, estabeleça um modelo de otimização para a correspondência de cores de produtos opacos. Com a premissa de conhecer o valor R da amostra alvo (Apêndice 3), com base na tabela de ponderação do valor tristimulus espectral (Apêndice 1) e no banco de dados básico do corante K/S (Apêndice 2), use o modelo de otimização para calcular a cor diferença com a amostra alvo As 10 formulações diferentes mais próximas requerem uma diferença de cor inferior a 1.

Pergunta 3: Com base na pergunta 2, considere o controle de custos e a correspondência de cores em lote e melhore o modelo de correspondência de cores. Realize a correspondência de cores em 2kg do material de base e encontre 10 fórmulas diferentes com a diferença de cor mais próxima da amostra alvo (Apêndice 3), e a diferença de cor deve ser menor que 1. Consulte o Apêndice 4 para obter o preço por grama do masterbatch.

Pergunta 4: Na produção real, quanto menos corante for necessário para a correspondência de cores, melhor. Com base nisso, com base na Pergunta 3, encontre o esquema de cores ideal para as primeiras 5 amostras no Apêndice 3 e exija que cada amostra seja formulou 5 fórmulas diferentes com diferença de cor menor que 1.

Dados e informações fornecidas:

1. Anexo 1 (tabela de ponderação de valor tristimulus espectral)

2. Anexo 2 (valores K/S de diferentes concentrações e diferentes comprimentos de onda)

3. Anexo 3 (valores R de 10 amostras)

4. Anexo 4 (Preços dos corantes)

5. Referências [1] Jiang Pengfei. Pesquisa sobre teoria e algoritmo de correspondência de cores de computador [D/OL]. Zhongyuan Institute of Technology, 2016

6. Referência [2] Wang Linji. Pesquisa sobre medição de cores de tecidos misturados com base no espaço de cores uniforme CIELAB e algoritmo de agrupamento [D]. Zhejiang Sci-Tech University, 2011.

2 Análise do Problema

2.1 Questão 1

Este é um problema de regressão linear. O modelo de ajuste foi usado para analisar a relação entre K/S e a concentração dos corantes vermelho, amarelo e azul em diferentes comprimentos de onda. Em primeiro lugar, veja o vermelho nos dados no apêndice 2, quando a concentração é 0,05, 0,1, 0,5, 1, 2, 3, 4 e 5, o valor de K/S aumenta com a concentração. Portanto, assume-se que o valor de K/S do corante vermelho tem uma relação linear com a concentração em diferentes concentrações. Uma regressão linear é então usada para ajustar um modelo para representar essa relação. Use um método simples de mínimos quadrados para ajustar um modelo de regressão linear, encontre os melhores coeficientes aeb e minimize o desvio entre a curva ajustada e os dados reais.

2.2 Questão 2

Este é um problema de otimização, traduzido em um solucionador de programa não linear:

Passo 1: Combine a tabela de ponderação do valor tristimulus espectral na Tabela 1 com a tabela básica do banco de dados na Tabela 2, calcule o valor K/S do material e salve o resultado como uma nova Tabela 4.

A segunda etapa é calcular a diferença de cor: de acordo com a tabela de valores R da amostra de destino Anexo 3 e a tabela 4 recém-gerada, calcule a diferença de cor entre cada fórmula e a amostra de destino. Opte por usar fórmulas comuns de diferença de cor, como a fórmula de diferença de cor CIEDE2000.

A terceira etapa é estabelecer um modelo de otimização: a fórmula é usada como variável de otimização e a diferença de cor é usada como função objetivo para estabelecer um modelo de otimização que minimize a diferença de cor. em um problema de programação não linear.

A quarta etapa é determinar a restrição: defina a condição de restrição de que a diferença de cor seja menor que 1 para garantir que a diferença de cor entre a fórmula selecionada e a amostra de destino seja menor que 1.

A quinta etapa é resolver o problema de otimização: use algoritmos de otimização matemática, como método de gradiente descendente, algoritmo genético, etc., para resolver o problema de otimização estabelecido e obter 10 fórmulas diferentes com a diferença de cor mais próxima da amostra alvo.

2.3 Questão 3

Com base nos problemas acima, o problema de correspondência de cores é transformado em um problema de programação linear, ou seja, o custo total da fórmula é minimizado sob a condição de que a diferença de cores seja menor que 1. O processo de modelagem específico é o seguinte:

Passo 1: Combine a tabela de ponderação do valor tristimulus espectral na Tabela 1 com a tabela básica do banco de dados na Tabela 2, calcule o valor K/S de cada material de cor e salve o resultado como uma nova Tabela 4. Passo 2: Calcule a quantidade total de fórmula para cada cor: distribua 2kg de material base de acordo com a proporção necessária para cada cor e distribua a quantidade correspondente de ingredientes para obter a quantidade total de fórmula para cada cor. O terceiro passo é estabelecer um modelo de otimização: como o valor total da fórmula é uma variável contínua, o valor total da fórmula de cada cor é usado como uma variável de otimização e um modelo de programação linear incluindo custo e restrições é estabelecido, de modo que, com base na minimização do custo, a diferença de cor seja menor que As restrições de 1 são as seguintes:
$$\begin{array}{c}\underset{x,y,z}{}60x\_+65anos+63\end{array}$$

onde $x$、$y$、$z$ representam a quantidade total da fórmula de masterbatch vermelho, amarelo e azul, respectivamente, a unidade é grama. Para satisfazer as restrições de que a diferença de cor é menor que 1, as restrições precisam ser adicionadas:

$$\begin{array}{c}|R_{}-R_{}|+|G_{}-G_{}|+|B_{}-B_{}|⩽\end{array}$$

$$x,y,z\ge 0$$

Entre eles, $R_{}$、$G_{}$、$B_{}$Indica o $As\; três\; cores\; primárias\; de\; i$ receitas e amostras alvo,$R_{}$、$G_{}$、$B_{}$Indica as três cores primárias da amostra alvo. As restrições acima são usadas para garantir que a diferença de cor entre cada fórmula e a amostra de destino seja menor que 1. Onde a variável for maior que 0, significa que a quantidade total da receita precisa ser um número positivo.

Etapa 4: Resolva o problema de otimização: Use um método de solução de programação linear, como o método simplex ou o método de ponto interior, para resolver o modelo de programação linear estabelecido, obtenha 10 fórmulas diferentes com a diferença de cor mais próxima da amostra de destino e calcule cada custo total da fórmula.

2.4 Questão 4

Este é um problema de programação linear inteira mista. Modele o problema como um problema de programação inteira mista. Para cada amostra, 5 formulações diferentes precisam ser encontradas, cada uma com uma diferença de cor menor que 1 e o uso total de corante é mínimo. Portanto, o número de receitas é usado como uma variável inteira, e a quantidade de cada cor usada em cada receita é usada como uma variável contínua.

De acordo com a modelagem da primeira etapa, obtém-se um modelo de programação linear inteira mista, no qual o objetivo é minimizar o uso total de corante, enquanto satisfaz a restrição de que a diferença de cor entre as 5 formulações para cada amostra seja menor que 1.

As restrições incluem: cada amostra requer 5 receitas diferentes e a quantidade de cada cor usada em cada receita deve ser um número positivo. Para cada amostra, defina uma variável binária para indicar se essa amostra usa uma receita específica e use restrições lineares para garantir que cada amostra não use mais de 5 receitas. Para cada amostra, defina uma variável contínua não negativa para representar o uso de cada cor em cada receita e determine as restrições de acordo com a fórmula de cálculo da diferença de cores.

Por fim, use um solucionador de programação linear inteira mista (como CPLEX, Gurobi, etc.) para resolver o modelo e obter o esquema de formulação ideal para as primeiras 5 amostras.

3 Introdução ao papel

Solução de design de esquema de cores ideal para produtos opacos

Resumo

Na vida cotidiana, o mercado de produtos opacos coloridos é bastante amplo e o uso eficiente da tecnologia de correspondência de cores está se tornando cada vez mais importante. No entanto, o método tradicional de correspondência de cores artificiais tem certas limitações, portanto, é de grande importância estudar o método de correspondência de cores por computador para realizar a correspondência de cores de produtos opacos. De acordo com o título e os parâmetros e fórmulas de processamento fornecidas pelo artigo, este documento calcula a relação funcional entre o valor K/S e a concentração e o coeficiente de ajuste, em seguida, define as condições de restrição correspondentes de acordo com os requisitos do título, estabelece o correspondente modelo de otimização e obtém o resultado ótimo.

Para o problema 1, desenhamos o diagrama de dispersão do valor de K / S e do corante em diferentes comprimentos de onda com base nos dados relevantes e usamos o método dos mínimos quadrados para ajustar linearmente o valor e a concentração de K / S para obter a relação linear correspondente e o coeficiente de ajuste . Colocamos o diagrama de dispersão e a imagem da função linear em um gráfico e, combinados com o coeficiente de ajuste obtido nas etapas anteriores para testar o grau de ajuste da função, podemos chegar a uma conclusão: o ajuste da expressão relacional linear com base no método dos mínimos quadrados O efeito é excelente.

Para a segunda pergunta, determinamos a função objetivo do modelo de objetivo único com base na relação funcional obtida na primeira pergunta e na fórmula de cálculo da diferença de cores extraída da literatura relevante, o valor K / S e a fórmula de cálculo do valor R , ou seja, para obter a diferença de cor O valor mínimo e definir a condição de restrição de que a diferença de cor é menor que 1. Finalmente, usando a fórmula de solução de diferença de cores e o modelo de otimização para obter a fórmula de correspondência de cores, pode-se concluir que a diferença de cores da fórmula otimizada é muito próxima da amostra alvo.

Para a pergunta três, calculamos o custo total de cada combinação de cores com base na qualidade do material de base e nas informações de fixação e ponderamos o custo total e a diferença de cores para obter o valor ponderado. Ao definir pesos, considerando que as duas restrições terão distribuições de peso diferentes, para analisar de forma mais objetiva, separamos três esquemas de distribuição de peso diferentes para os dois objetivos de custo e diferença de cor, a saber "prioridade de custo", "Equilibrado" e "Prioridade de aberração de cor". Cada amostra de destino leva o esquema de cores correspondente ao valor mínimo ponderado, de modo a obter três grupos de diferentes esquemas de cores ideais. Pode-se ver nos resultados finais de saída que diferentes distribuições de peso terão diferentes esquemas de cores, então a discussão de classificação é relativamente objetiva e razoável. Para a questão 4, foi adicionado o requisito de "quanto menos corante melhor" Partimos de dois aspectos. por um lado

Começa com os tipos de corantes, quanto menos tipos, melhor. Considere primeiro um tipo. Se não houver esquema de cores para um corante, escolha dois esquemas de corantes e analise os dados do resultado obtidos na questão 3. O resultado final é encontrado No segundo aspecto, considerando o peso total em gramas do corante, adicionamos o fator de peso total em gramas com base na função objetivo original e redistribuímos o peso. Ao definir diferentes pesos para custo, diferença de cor e peso total, considerando a objetividade, também os agrupamos em "prioridade de custo", "prioridade de diferença de cor", "prioridade de eficiência" e "tipo balanceado". Finalmente, o algoritmo ponderado é usado para obter cinco esquemas de cores ideais para cinco amostras.

Palavras-chave: algoritmo de ponderação K/M teoria da constante única CIELAB espaço de cores uniforme cálculo da diferença de cores modelo de programação multiobjetivo

4 downloads

Vá para o link de download na parte inferior do artigo Zhihu

zhuanlan.zhihu.com/p/649533536